【正文】 設(shè)兩電子在彈性輳力場中運動，每個電子的勢能是。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。其相應(yīng)的本征函數(shù)分別為 求自旋角動量方向的投影 本征值和所屬的本征函數(shù)。第七章 自旋與全同粒子：證：由對易關(guān)系 及 反對易關(guān)系 ， 得 上式兩邊乘，得 ∵ ∴ 求在自旋態(tài)中，和的測不準(zhǔn)關(guān)系： 解：在表象中、的矩陣表示分別為 ∴ 在態(tài)中 討論：由、的對易關(guān)系 [，] 要求 ①在態(tài)中， ∴ 可見①式符合上式的要求。 可見，所討論的選擇定則為。設(shè)入射光的能量為。 由 (取方向為Z軸方向) = 0 = 0 由上述結(jié)果可知， ∴ 當(dāng)時， 其中。設(shè)單色光的電場可以近似地表示為，及均為零；電離電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。 的本征值為 本征函數(shù)為 的基態(tài)能量為，為非簡并情況。 解：這種分布只對的區(qū)域有影響，對的區(qū)域無影響。 解： 設(shè)已知在的共同表象中，算符的矩陣分別為 求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)。 1如果算符滿足關(guān)系式，求證 ①　　　② 證： ① ② 1求 解： = 0 1 解： = 0 第四章 態(tài)和力學(xué)量的表象?！　　　? 解：① 　　 ② 1粒子在勢能為 的場中運動。 1求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時幾率最大的位置。 令 ，則得 ∴ 為最大幾率位置。 解：的本征方程為 （的本征值）如果把坐標(biāo)原點取在一維無限深勢阱的中心，求阱中粒子的波函數(shù)和能級的表達(dá)式。 ③∴ 可見，是的本征函數(shù)，其對應(yīng)的本征值為－1。由下式確定 ∴ 令 ，則有 ∴透射系數(shù) 5．指出下列算符哪個是線性的，說明其理由。 ∴ 為幾率最大位置，即在的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。 為最大值，所以處于1s態(tài)的電子在處被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。即在方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。解：設(shè)氫原子基態(tài)的最概然半徑為R，則原子半徑的不確定范圍可近似取為由測不準(zhǔn)關(guān)系 得 對于氫原子，基態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，而動量算符為奇宇稱，所以又有 所以 可近似取 能量平均值為 作為數(shù)量級估算可近似取 則有 基態(tài)能量應(yīng)取的極小值，由得 代入，得到基態(tài)能量為 補充練習(xí)題二 1．試以基態(tài)氫原子為例證明：的本征函數(shù)，而是的本征函數(shù)。只求角動量為零的情況，即，這時在各個方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的。 解：由波函數(shù)的形式可知一維無限深勢阱的分布如圖示。 (2)取固定點為坐標(biāo)原點，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為 無關(guān)，屬定態(tài)問題，其本征方程為 (式中設(shè)為的本征函數(shù)，為其本征值) 令 ，則有 此即為角動量的本征方程，其本征值為 其波函數(shù)為球諧函數(shù) ∴ 轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 可見，能量是分立的，且是重簡并的。2，…轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為 (m= 0，177。 (1)求一圓周電流的磁矩。 (2) 或 (3) 動量幾率分布函數(shù)為 ，求： (1)r的平均值； (2)勢能的平均值； (3)最可幾半徑； (4)動能的平均值； (5)動量的幾率分布函數(shù)。 證：線性諧振子的S方程為 ① 把代入上式，有 把代入①式左邊，得 當(dāng)時，左邊 = 右邊。242。 補充練習(xí)題一設(shè) ，求A = ？ 解：由歸一化條件，有 利用 ∴ 求基態(tài)微觀線性諧振子在經(jīng)典界限外被發(fā)現(xiàn)的幾率。 定態(tài)S方程為 對各區(qū)域的具體形式為 Ⅰ： Ⅱ： Ⅲ： Ⅳ： 對于區(qū)域Ⅰ，粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故 而 . ① ② ③ 對于束縛態(tài)來說，有 ∴ ④ ⑤ ⑥ 各方程的解分別為 由波函數(shù)的有限性，得 ∴ 由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得 ∴ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩由⑦、⑧，得 (11)由 ⑨、⑩得 (12) 令，則①式變?yōu)? 聯(lián)立(12)、(13)得，要此方程組有非零解，必須 把代入即得 此即為所要求的束縛態(tài)能級所滿足的方程。 解法一：粒子所滿足的S方程為