【正文】 , Ψ n ,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加 Ψ= C 1Ψ 1 + C2Ψ 2 + ...+ CnΨ n + ... (其中 C1 , C2 ,...,Cn ,...為復(fù)常數(shù) )。所以后式應(yīng)用積分代替是連續(xù)變化的，由于其中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppp???????????????????? ? ),()(),(),()(),(電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動(dòng)量 p 運(yùn)動(dòng)。 薛定諤方程 ? ? 牛頓方程特點(diǎn) : ? 線性方程 ? 二階全微分方程 ,只有一個(gè)獨(dú)立變量 t ? 唯一性 ? 方程系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù) ,有普適性 經(jīng)典力學(xué)：已知力 F 及 x0、 v0， 質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)變化由牛頓運(yùn)動(dòng)方程求出 一 引進(jìn)方程的基本考慮 ? 要求 : ? 線性方程 (態(tài)疊加原理的直接要求 ) ? 系數(shù)也不含狀態(tài)參數(shù) ? t與 x,y,z均為變量 =只能是偏微分方程 ? 解的唯一性 量子力學(xué)：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)來描寫，狀 態(tài)隨時(shí)間的變化遵循著一定的規(guī)律 ? 進(jìn)入方程式 ,體現(xiàn)微觀世界的特點(diǎn) (量子化 ) ? 0,過渡到牛頓方程 二 自由粒子滿足的方程 不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量 E 。 量。. . . ,( 21 trrr N????)。對(duì)一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即 2|),(|),(),(),( trtrtrtr ???? ????? ??0),( ?? ??? ?? dtrdtd ?在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。是體積 VStrSdJdtrdtdS?????????),(),(????????Sd?S ? ??? dJdtrdtdVV?? ???? ?? ),(?? ? 0),( ?? dtrdtd ?討論 ： 表明，波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。 （ 3）知道體系所受力場(chǎng)和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由 Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。 由 de Broglie關(guān)系可知： E 就是體系處于波函數(shù) Ψ(r,t) 所描寫的狀態(tài)時(shí)的能量。亦稱量，稱為與經(jīng)典力學(xué)相同，H a m i l t o nH a m i l t o nH?????????????)()(]2[)()(22rErVtEftfdtdi??????? ??????????????????EVEti]2[ 2???二方程的特點(diǎn)：都是以一個(gè)算符作用于 Ψ(r, t) 等于 EΨ(r, t) 。 也可看出，作用于任一波函數(shù) Ψ 上的二算符 ，得：注意到 ]/e x p [ ?i Et??? ?再 由 Schrodinger 方程： 能量本征值方程 （ 1）一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)上得到一個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相似。 （ 3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)簡(jiǎn)稱能量本征態(tài)）時(shí)，粒子能量有確定的數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是與這個(gè)本 征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值 。 作為粗略的近似，我們認(rèn)為這些電子 在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)， 即它的勢(shì)能函數(shù)為 ?????????axxaxxU,000)( ? 區(qū) ?? 區(qū) ??? 區(qū) 167。 2 ?? xx ???? 阱內(nèi)： ? 區(qū) ?? 區(qū) ??? 區(qū) )()(]02[ 222xExdxd ?????? ?? 阱外： 0)( ?x?xBxAx ??? s i nc o s)( ??A和 B是待定常數(shù) )()(]2[ 222xExdxd ??????? ?? 阱外： ? 阱內(nèi)： 令 22 2?E?? ? 得 0)()(39。取分立值，即能量是量量可能值。 隨著能級(jí)的升高，幾率密度的峰值增多，當(dāng) 時(shí)，粒子在勢(shì)阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率相等，量子力學(xué)的結(jié)果過濾到經(jīng)典力學(xué)的情況。39。 167。 若取 V0 = 0，即平衡位置處于勢(shì) V = 0 點(diǎn)，則 kx dxU ??所以 0221 Vkx ?? 02221 Vx ?? ??2???k因：為什么研究線性諧振子 l 自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在 x = a 附近勢(shì)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)： ?????????????222 )(!21)(!11)()( axxUaxxUaUxUaxaxa x U(x) 0 U0 0)( 0 ????? axxUUaU 2220 )(!21 axxUUax??????20 )(21 axkU ???axxUk????22其中：? 取新坐標(biāo)原點(diǎn)為 (a, U0)，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式： 可見，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來近似描述。 ξ 2/2]， 0)(][ 222??? xdd ????? 漸近解 欲驗(yàn)證解的正確性，可將其代回方程， 2/2???? ?? ? edddd][22 ?? ?? ????? dddd波函數(shù)有限性條件： 2/2?? ?? ? e當(dāng) ξ→ 177。即： l ① 當(dāng) ξ 有限時(shí)， H(ξ) 有限； l ② 當(dāng) ξ→∞ 時(shí)， H(ξ) 的行為要保證 ψ(ξ)→ 0 。)239。 ? ? ? ? ? ? 0)1(2 ??????? ????? HHH????022nnn naH ??? ? nnnaH ?? ????0:n對(duì)任一0])1(2)1)(2([02 ??????????nnnnn ananna ??(10) (11) (12) nnnnnaH ?)2)(1(20????? ???nn annna)1)(2(122 ????????——遞推關(guān)系 (13) nnanaana的已知，可得奇數(shù)當(dāng)，的已知，可得所有偶數(shù)當(dāng)10)(,0,0)(,0,00110??oddevenHaaHaa??????nn annna)1)(2(122 ????????之比：很大，高次項(xiàng)系數(shù)，當(dāng)如果級(jí)數(shù)含有無限多項(xiàng) ?nnnnaannn 2)1)(2(122 ?? ?????????? ?的級(jí)數(shù)解比較：與 2?e(14) ξ→ 177。 繼續(xù)分步積分到底 因?yàn)?Hn的最高次項(xiàng) ξ n的系數(shù)是 2n，所以 dnHn /dξ n = 2n n!。個(gè)根，在大有次，軸相交在有限范圍內(nèi)與??????nn nn 0?幾率密度 ? ? ? ?，微觀趨向宏觀很大時(shí)，量子趨向經(jīng)典在量子數(shù)。在經(jīng)典：基態(tài)諧振子只能此處在，諧振子特征長(zhǎng)度??????????????????????xxExVxEx??一維“無限深勢(shì)阱”和“線性諧振子”是 束縛態(tài) 問題， 具有分立的能量本征值。 0 a V(x) V0 I II III E 粒子從無限遠(yuǎn)處來，受勢(shì)壘散射后又到無限遠(yuǎn)處去， 粒子能量事先知道。:0??2. 波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù) ????????????????????????????001221221221221aikaikaikaikaikaikCekeBkBekAkBkBkAkCeeBBeABBAaikaikaik CeeBBeaaax122)()(:32?????????aikaikaik CeikeBikBeikaaax12212232 )(39。 則入射波幾率流密度 透射系數(shù)為 : 222122222212221224s i n)(4||||kkakkkkkACJJDID?????222122222212222221224s i n)(s i n)(||||kkakkkakkkAAJJRIR???????由以上二式顯然有 D+R=1，說明入射粒子一部分貫穿勢(shì) 壘到 x a 的 III區(qū)，另一部分則被勢(shì)壘反射回來。當(dāng)然， 這種現(xiàn)象只在一定條件下才 比較顯著。 0VVaox嶗山道士穿墻術(shù) 三、討論 當(dāng) k3a 1時(shí) 4][44)(4313313 22412321241223212321?????? akkkkkak ekkekkkkD)(20202202331331 ][16 EVakakkkkkaeDeDeD ???? ??????故 4可略 ? ? akakakakakeeeakee3333324122132 )()(s i n h,??????? 則：即勢(shì)壘既寬又高，于是透射系數(shù)則變?yōu)椋? 41,13133123 ?????akkkkkeak 時(shí)，且當(dāng)必大于因?yàn)榇致怨烙?jì)，認(rèn)為 k1 ≈ k 3 （相當(dāng)于 E ≈V 0/2） , 則 D0 = 4是一常數(shù)。 ， 算得 D ≈ 。 對(duì)于 a = 2 197。 例 2: 入射粒子換成質(zhì)子。羅雷爾研制出世界上第一臺(tái)掃描隧道顯微鏡（ STM） ． STM使人類第一次能夠?qū)崟r(shí)地觀察單個(gè)原子在物質(zhì)表面的排列狀態(tài)和與表面電子行為有關(guān)的物化性質(zhì) ， 在表面科學(xué) 、 材料科學(xué) 、 生命科學(xué)等領(lǐng)域的研究中有著重大的意義和廣泛的應(yīng)用前景 ， 被國(guó)際科學(xué)界公認(rèn)為 20世紀(jì) 80年代世界十大科技成就之一 ． 為表彰 STM的發(fā)明者們對(duì)科學(xué)研究所作出的杰出貢獻(xiàn) ， 1986年賓尼和羅雷爾被授予諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金 ． 應(yīng)用：掃描隧道顯微鏡 掃描隧道顯微鏡 這是中國(guó)科學(xué)院化學(xué)所的科技人員利用納米加工技術(shù)在石墨表面通過搬遷碳原子而繪制出的世界上最小的中國(guó)地圖。 1990年， IBM公司的科學(xué)家展示了一項(xiàng)令世人瞠目結(jié)舌的成果，他們?cè)诮饘冁嚤砻嬗?35個(gè)惰性氣體氙原子組成“ IBM”三個(gè)英