量子力學(xué)考試知識(shí)點(diǎn)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 章 量子力學(xué)中的力學(xué)量一、考核知識(shí)點(diǎn)： （一）、表示力學(xué)量算符的性質(zhì)（二）、厄密算符的本征值和本征函數(shù)（三）、連續(xù)譜本征函數(shù)“歸一化”（四）、算符的共同本征函數(shù)（五）、力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化二、考核要求：（一）、表示力學(xué)量算符的性質(zhì)：算符、力學(xué)量算符、對(duì)易關(guān)系：算符的運(yùn)算規(guī)則、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性質(zhì)、基本力學(xué)量算符的對(duì)易關(guān)系（二）、厄密算符的本征值和本征函數(shù)：本征方程、本征值、本征函數(shù)、正交歸一完備性：厄密算符的本征值和本征函數(shù)性質(zhì)、坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的本征值問(wèn)題、力學(xué)量可取值及測(cè)量幾率、幾率振幅。：微觀粒子的波－粒二象性、德布羅意波。掌握一維無(wú)限深勢(shì)阱，線性諧振子。 定態(tài)近似方法掌握非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論，簡(jiǎn)并情況下的微擾理論，理解薛定鄂方程的變分原理及變分法。掌握全同粒子體系的波函數(shù)，泡利原理，兩個(gè)電子的自旋函數(shù)。把握量子力學(xué)中一些非凡的現(xiàn)象和問(wèn)題的處理方法，包括力學(xué)量的算符表示、對(duì)易關(guān)系、不確定度關(guān)系、態(tài)和力學(xué)量的表象、電子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子躍遷及光的發(fā)射與吸收的半經(jīng)典處理方法等，并具有綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。此階段看書以理解為主，不必糾纏于細(xì)節(jié)，將不懂的知識(shí)點(diǎn)做上記號(hào)。當(dāng)然，需要注重的是，單純把握真題也是不理智的做法，假如一個(gè)考生僅僅把握了歷年真題的內(nèi)容，那么考試后他會(huì)得出這樣一個(gè)結(jié)論：今年的題真偏。第三階段：將專業(yè)課過(guò)第三遍，這一輪注重結(jié)合上一輪的筆記和提綱有重點(diǎn)的，系統(tǒng)的理解和記憶，由于專業(yè)課要求答的深入，所以可以找一些專業(yè)方面的期刊雜志來(lái)看下，擴(kuò)大下自己的視野范圍。（中科大2003）一、試證明： （1）投影算符是厄密算符；它在任意態(tài)中的平均值是正定的，即。解： 設(shè) 由于 且利用 得 以 左乘上式 并利用 得 依次遞推得 由歸一化條件 因?yàn)? 為實(shí)數(shù)，可取為所以 三、給定方向的單位矢量，在表象中求的本征值和歸一化本征矢。解： （1） 可見(jiàn)所設(shè)表象為非表象，為將對(duì)角化，先由的本征方程求其本征值和本征矢。）式 上式顯然成立；設(shè)時(shí)上式成立，即 則 顯然，時(shí)上式也成立，（用微擾法求的本征值和本征態(tài)。 （1）對(duì)電子自旋向上態(tài)，求的可能值及相應(yīng)幾率； （2）對(duì)的本征值為1的本征態(tài)，求的可能值及相應(yīng)幾率。（2）若粒子自旋，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)態(tài)的能量和波函數(shù)為 其中 體系基態(tài)能量和波函數(shù) 體系第一激發(fā)態(tài)能量和波函數(shù) 量子力學(xué)測(cè)試題（4）（復(fù)旦2002）已知一維運(yùn)動(dòng)的粒子在態(tài)中坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值分別為和，求在態(tài)中坐標(biāo)和動(dòng)量的平均值。解：氫原子定態(tài)能量和波函數(shù)為 （1）（2）任意t時(shí)刻波函數(shù)（3）任意t時(shí)刻體系處在態(tài)的幾率為1/5；（4）任意t時(shí)刻體系處在態(tài)的幾率為1/2。設(shè)分別為湮滅算符和產(chǎn)生算符，滿足對(duì)易關(guān)系。3．基本量子條件： ：電子的內(nèi)稟特性之一：①在非相對(duì)論量子力學(xué)中。二． 計(jì)算題（20分4題），求透射系數(shù)。 ⑵ E0 寫出分區(qū)薛定諤方程為：令：，可將上述方程簡(jiǎn)化為：一般解可寫為：考慮到?jīng)]有從右向左的入射波，B’＝0由波函數(shù)連接條件，有：解得： 據(jù)此，可分別計(jì)算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)滿足 R+D＝1可見(jiàn)，盡管E0，但仍有粒子被反射。解：用Dirac算符 ⑴ 由 ，可求得 ⑵ 能量可能取值 ， 相應(yīng)的幾率 1/2， 1/5， 3/10 因?yàn)閚＝0,2,4都為偶數(shù)，故宇稱為偶⑶ ⑷ 利用 ，有 ＝0 ，其中N為歸一化波函數(shù)，為變分參數(shù)，試用變分法求氫原子的基態(tài)能量與基態(tài)波函數(shù)。 ⑵ 第一激發(fā)態(tài)， （n1，n2）＝1,2 或 （n1，n2）＝2,1 激發(fā)態(tài)能量為 單態(tài)； 三重態(tài)： 33
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