二階常微分方程的解法及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文-預(yù)覽頁
【正文】 計）作者完全了解**學(xué)院有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文（設(shè)計）的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留論文（設(shè)計）并向相關(guān)部門送交論文（設(shè)計）的電子版和紙質(zhì)版。 作者簽名： 指導(dǎo)教師簽名： 日期： 日期： 注 意 事 項（論文）的內(nèi)容包括：1）封面（按教務(wù)處制定的標(biāo)準(zhǔn)封面格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3）中文摘要（300 字左右） 、關(guān)鍵詞4）外文摘要、關(guān)鍵詞 5）目次頁（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論） 、正文、結(jié)論7）參考文獻(xiàn)8）致謝9）附錄（對論文支持必要時）：理工類設(shè)計（論文）正文字?jǐn)?shù)不少于 1 萬字（不包括圖紙、程序清單等） ，文科類論文正文字?jǐn)?shù)不少于 萬字。針對這三種解法的特點，分別將其應(yīng)用到求解彈簧振子系統(tǒng)的振子的運動方程。 constant variation method。常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。2 二階常系數(shù)常微分方程的幾種解法 通常來說，縱觀二階常系數(shù)常微分方程的解法來看，其中比較有代表性的是特征方程法、常數(shù)變易法、拉普拉斯變換法這三種解法，因為篇幅和個人能力有限，本文則選取這三種具備代表性的解法進(jìn)行分析。在常數(shù)變易法中，通過將常數(shù) C 放入 當(dāng)中就可以得到非齊次線??XU性方程的通解。()2)(()tctpcef?????, 這是關(guān)于 39。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來處理，從而使計算簡化。常系數(shù)線性微分方程可以應(yīng)用拉普拉斯變換法進(jìn)行求解，這往往比較簡單。,0()tdxextt????,再對新方程兩邊作拉普拉斯變換,得到 2 1()()sXsXse??,因此 31()se???,查拉普拉斯變換表可得 21()xe???,從而 21())txte??,這就是所要求的解. 當(dāng)然,求解二階或者更高階的常微分方程的方法還有很多,這里我們不能一一。 特征方程法例如在彈簧振子系統(tǒng)當(dāng)中，測試出物體的阻尼系數(shù) ???，?,該彈簧所具備的勁度系數(shù) 175kNm???,在此背景下，假設(shè)整個質(zhì)點從靜止?fàn)顟B(tài)開始逐步運動，求解彈簧振子的位移方程。又例如案例：假如在以上的振動系統(tǒng)當(dāng)中受到某個外力 10cos(3)FtN?的作用，在公式當(dāng)中 10AF?表示為驅(qū)動力所具備的幅度值， ?則表示為驅(qū)動力所擁有的圓頻率， f也就是驅(qū)動力所保持的頻率。由于在之前的篇幅當(dāng)中已經(jīng)得到相對應(yīng)的自由振動方程的一般解，這就導(dǎo)致其在的關(guān)鍵問題就是對于（8）當(dāng)中的一個特解進(jìn)行尋找，把所得到的數(shù)據(jù)代入到（8）當(dāng)中就可以得到： 207510cos(3)dxxttt??, （9）在這里可以通過假設(shè)（9）有著 1sin30cosxAtBt??這樣的特解，將這個特別往（9）當(dāng)中進(jìn)行替代并且將其進(jìn)行簡化之后得到 (324)si(24)s4cs30ABttt????,按照比較同類項系數(shù)可以得到3,55?,這樣就可以進(jìn)一步得到1324sin0cos55xtt??,根據(jù)以上所得到的結(jié)果沒那么原方程所存的通解就可以表述為 515324()sin0cos305ttxtAeBtt????.在以上的公式當(dāng)中，初始條件決定 ,AB的數(shù)值，而其中的瞬態(tài)解是之前的兩項，瞬態(tài)項能夠?qū)τ谡麄€系統(tǒng)的自由衰減振動進(jìn)行有效描述，而所能夠起作用的只是在震動的開始階段，而當(dāng)經(jīng)歷比較長的時間之后，瞬態(tài)解所起到的影響則會逐漸的減弱并且在最后階段消失。 常數(shù)變易法 從之前的分析當(dāng)中可以了解到 5txe??這屬于特征方程 2075???的實根，那么就可以得到 5txe??這個屬于方程（9）當(dāng)中的一個根，然后通過常數(shù)變異法設(shè)置 *5()txc，那么在這一過程當(dāng)中也可以得到方程的一個解為 *x，把數(shù)值代入到（9）當(dāng)中并且進(jìn)行簡化之后可以得到 39。這樣就可以進(jìn)一步的假設(shè)特征方程的根為103i????，那么 1()sin(03)txtet?這就是公式（11）的一個解?，F(xiàn)今對于二階常微分方程解法的研究已經(jīng)取得了不少成就，尤其在二階常系數(shù)線性微分方程的求解問題方面卓有成效。參考文獻(xiàn)[1] (瑞典)()著,[M].科學(xué)出版社,2022：121147[2] 趙慈庚,[M].中國青年出版社,1984:7491[3] [M].高等教育出版社,1978:3953[4] 李瑞遐,[M].華東理工大學(xué)出版社,2022：4158[5] 余德浩,[M].科學(xué)出版社,2022：1421[6] [J].韶關(guān)(02)：3847[7] 弭魯芳,[J].聊城大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版).2022(04):2426+28[8] 趙慧娟,陳偉麗,趙晨霞,析[J].(08):83[9] 李孝誠,[J].(04)：9699[10] 韋程東,高揚,實踐[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識 2022(20)：228233[11] [J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)(01)：9198
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