55二次曲線系的合成與分解-預(yù)覽頁
【正文】 2時 ,求直線 l的方程 。[中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 ](第 0001號 ) 愿與您共建真實的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 :13965261699) 二次曲線系的合成與分解 圓錐曲線上完全四邊形 問題 的 曲線系解 法 我們把由圓錐曲線上的四點中的任意兩點的連線共六 條直線及它們的 七 個交點所構(gòu)成的圖形 ,叫做圓錐曲線上的完全四邊形 。 (Ⅱ )當(dāng) a≠ 0 時 ,由 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=ax2+(by+d)x+cy2+ey+f可分 解為 (a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)? Δ =(by+d)24a(cy2+ ey+f)=(b24ac)y2+2(bd2ae)y+(d24af)為 y 的完全平方式 ? b24ac0,且 [2(bd2ae)]24(b24ac)(d24af)=0? b24ac 0,且 (bd2ae)2(b24ac)(d24af)=0。 (Ⅱ )求線段 PQ 的中垂線 l在 x軸上的截距的取值范圍 . [解析 ]:(Ⅰ )設(shè)直線 BP:kxy+1=0,BQ:x+kyk=0,則由橢圓和直線 CD、 EF合成的二次曲線系 G:x2+4y24+λ (kxy+1)(x+ky k)=0? (1+λ k)x2+λ (k21)xy+(4λ k)y2+λ (1k2)x+2λ ky4λ k=0,當(dāng)二次曲線系 G分解為直線 PQ 與橢圓在點 B處 的切線 (y=1)的方程之積時 (由 (y1)(ax+by+c)=0中不含 x2項 )? 1+λ k=0? 曲線系 G:(k+1)xy+5y2+(1+k)x2y3=0? (k+1) ? x(y1)+(y1)(5y+3)=0? (y1)[(k+1)x+5y+3]=0? 直線 PQ:(k+1)x+5y+3=0 恒過定 點 N(0,53 )? M 的軌跡 是以 BN為直徑的圓 (除去點 B),其方程為 x2+(y1)(y+53)=0。 (Ⅲ )對于 (Ⅱ )中的 C,D,G,H,設(shè) CH交 x軸于 P點 ,GD交 x軸于 Q點 ,求 證 :|OP|=|OQ|(證明過程不考慮 CH或 GD 垂直于 x軸的情形 ). 3.(2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河北 預(yù)賽試 題 )如圖 ,已知 A、 B 是圓 x2+y2=4與 x軸的兩個交點 , P 為直線 x=4 上的動點 ,PA、 PB 與圓的另一個交點分別為 M、 N. 求證 :直線 MN 過定點 . 4.(2020 年江蘇 高考試題 )在平面直角 坐標(biāo)系 xOy 中 ,如圖 ,已知橢圓92x+52y=1 的左 、 右頂點為 A、 B,右焦 點為 F,設(shè)過點 T(t,m)的直線 TA,TB與橢圓分別交于點 M(x1,y1),N(x2,y2),其中 m0,y10,y20. (Ⅰ )設(shè)動點 P 滿足 |PF|2|PB|2=4,求點 P的軌跡 。 (Ⅱ )已知點 B(1,0),設(shè)不垂直于 x 軸的直線 l 與軌跡 C 交于不同的兩點 P,Q,若 x 軸是 ∠ PBQ 的角平分線 ,證明直線 l 過定點 . 8.(2020年 遼寧 高考試題 )已知 橢圓 C 過點 A(1,23),兩個焦點為 (1,0),(1,0). (Ⅰ )求橢圓 C 的方程 。 同理可得43 432 xx xxk?=rbr222? ? 21 211 xx xxk?=43 432 xx xxk?。 (Ⅱ )設(shè) Q(m,n),則直線 QA:nx(m2)y2n=0,由直線 QA過點 C(0,1)? m=2(1n)? 直線 QA:x+2y2=0,Q(2(1n),n)? 直線QB:nx2(2n)y+2n=
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