數(shù)列習(xí)題課(一)-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 …，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，逐項(xiàng)相加得an＝a1＋1－，故an＝4－.{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案 1 121解析 a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1，a2＝3，再由an＋1＝2Sn＋1，即an＝2Sn－1＋1(n≥2)，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3a1，所以an＋1＝3an(n≥1)，S5＝＝121.{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an－1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案 2n－1解析 當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，∴an＝2an－1，∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝2n－1，n∈N*.{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)解 由題意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.所以{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以an＝n－1.，都是以等差數(shù)列、等比數(shù)列為基礎(chǔ).，對(duì)無(wú)窮數(shù)列來(lái)說(shuō)只能算是一種猜想，是否對(duì)所有項(xiàng)都適用還需論證.，其本質(zhì)是猜想所給遞推公式可以變形為某種等差數(shù)列或等比數(shù)列，只是其系數(shù)還不知道，一旦求出系數(shù)，即意味著猜想成立，從而可以借助等差數(shù)列或等比數(shù)列求得通項(xiàng).，要注意n的取值范圍.一、選擇題{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，則a100的值是( ) 900 902 904 000考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) an＋1＝pan＋f(n)型答案 B解析 a100＝(a100－a99)＋(a99－a98)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2＋2＝9 902.{an}中，a1＝1，an＋1＝，則這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)為( )－1 ＋1C. D.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列答案 C解析 ∵an＋1＝，∴＝＋2.∴為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)＝1.∴＝1＋(n－1)…a3＝8，又a1＋a4＝9，可解得或(舍去).由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.(2)Sn＝＝＝2n－1，又bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.＝4－an－，求an與Sn.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)解 ∵Sn＝4－an－，∴Sn－1＝4－an－1－，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.∴an＝an－1＋n－1.∴－＝2，∴2nan－2n－1an－1＝2，∴{2nan}是等差數(shù)列，d＝2，首項(xiàng)為2a1.∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.∴an＝n
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