【正文】 ???π2＝ a n － a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 － a n ＋ 1 ＝ 0 ， 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 即 an ＋ 1－ an＝ an ＋ 2－ an ＋ 1，故 { an} 為等差數列 ． 由 a1＝ 2 ， a2＋ a4＝ 8 ，解得 { an} 的公差 d ＝ 1 ， 所以 an＝ 2 ＋ 1 北京高考 ) 給定數列 a1， a2， ? ， an，對 i ＝ 1 ， 2 ， ? ，n － 1 ，該數列前 i 項的最大值記為 Ai，后 n － i 項 ai ＋ 1， ai ＋ 2， ? ， an的最小值記為 Bi， di＝ Ai－ Bi. ( 1) 設數列 { an} 為 3,4,7,1 ，寫出 d1， d2， d3的值； ( 2) 設 a1， a2， ? ， an( n ≥ 4) 是公比大于 1 的等比數列，且 a10 ，證明： d1， d2， ? ， dn － 1是等比數列； ( 3) 設 d1， d2， ? ， dn － 1是公差大于 0 的等差數列，且 d10 ，證明：a1， a2， ? ， an － 1是等差數列． 等差、等比數列的判定與證明 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 [ 自主解答 ] (1) d1＝ 2 ， d2＝ 3 ， d3＝ 6. (2) 證明：因為 a10 ，公比 q 1 ，所以 a1， a2， ? ， an是遞增數列． 因此，對 i ＝ 1,2 ， ? ， n － 1 ， Ai＝ ai， Bi＝ ai ＋ 1. 于是對 i ＝ 1,2 ， ? ， n － 1 ， di＝ Ai－ Bi＝ ai－ ai ＋ 1＝ a1(1 － q ) qi － 1. 因此 di≠ 0 且di ＋ 1di＝ q ( i ＝ 1,2 ， ? ， n － 2) ， 即 d1， d2， ? ， dn － 1是等比數列． 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 (3) 證明：設 d 為 d1， d2， ? ， dn － 1的公差． 對 1 ≤ i ≤ n － 2 ，因為 Bi≤ Bi ＋ 1， d 0 ， 所以 Ai ＋ 1＝ Bi ＋ 1＋ di ＋ 1≥ Bi＋ di＋ d Bi＋ di＝ Ai. 又因為 Ai ＋ 1＝ max{ Ai， ai ＋ 1} ，所以 ai ＋ 1＝ Ai ＋ 1 Ai≥ ai. 從而 a1， a2， ? ， an － 1是遞增數列． 因此 Ai＝ ai( i ＝ 1,2 ， ? ， n － 1) ． 又因為 B1＝ A1－ d1＝ a1－ d1 a1， 所以 B1 a1 a2 ? an － 1. 因此 an＝ B1. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 所以 B 1 ＝ B 2 ＝ ? ＝ B n － 1 ＝ a n . 所以 a i＝ A i＝ B i＋ d i＝ a n ＋ d i . 因此對 i ＝ 1,2 ， ? ， n － 2 都有 a i ＋ 1 － a i＝ d i ＋ 1 － d i＝ d ， 即 a 1 ， a 2 ， ? ， a n － 1 是等差數列． 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 —————————— 規(guī)律 南昌模擬 ) 下表是一個由正數組成的數表，數表中各行依次成等差數列，各列依次成等比數列，且公比都相等，已知 a 1 , 1 ＝ 1 ， a 2 , 3 ＝ 6 ， a 3 , 2 ＝ 8. 數列求和問題 ? ? ? ? ? ? a4,4 a4,3 a4,2 a4,1 ? a3,4 a3,3 a3,2 a3,1 ? a2,4 a2,3 a2,2 a2,1 ? a1,4 a1,3 a1,2 a1,1 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 (1) 求數列 { a n, 2 } 的通項公式； (2) 設 b n ＝a 1 ， na n ， 2， n ＝ 1,2,3 ， ? ，求數列 { b n } 的前 n 項和 S n . [ 自主解答 ] ( 1 ) 設各行依次組成的等差數列的公差是 d ，各列依次組成的等比數列的 公比是 q ( q 0 ) ， 則 a 2 , 3 ＝ qa 1 , 3 ＝ q ( 1 ＋ 2 d ) ? q ( 1 ＋ 2 d ) ＝ 6 ， a 3 , 2 ＝ q2a 1 , 2 ＝ q2( 1 ＋ d ) ? q2( 1 ＋ d ) ＝ 8 ， 解得 d ＝ 1 ， q ＝ 2. a 1 , 2 ＝ 2 ? a n , 2 ＝ 2 2n － 1＝ 2n. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 ( 2 ) bn＝n2n ，則 S n ＝12＋222 ＋323 ＋ ? ＋n2n ， 則12Sn＝122 ＋223 ＋324 ＋ ? ＋n2n ＋ 1 ， 兩式相減得12Sn＝12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12n －n2n ＋ 1 ＝ 1 －n ＋ 22n ＋ 1 ， 所以 Sn＝ 2 －n ＋ 22n . 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 若本例 (2) 中 b n ＝ a 1 ， nan ， 2＋ ( － 1) n a 1 ， n ，如何求 S n? 互動探究 解： 由例題可知 bn＝n2n ＋ ( － 1)nn ， Sn＝??????12＋222 ＋323 ＋ ? ＋n2n ＋ [ －1 ＋ 2 － 3 ＋ … ＋ ( － 1) nn ] ． 設 Tn＝12＋222 ＋323 ＋ ? ＋n2n ，則12Tn＝122 ＋223 ＋324 ＋ ? ＋n2n ＋ 1， 兩式相減得12Tn＝12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12n －n2n ＋ 1 ＝ 1 －n ＋ 22n ＋ 1 ，所以 T n＝ 2 －n ＋ 22n . 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 又－ 1 ＋ 2 － 3 ＋ ? ＋ ? － 1 ?n OB n( 其中 O 為坐標原點 ) ， 求數列 { bn} 的前 n 項和 Sn. 數列與函數、方程的綜合應用 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 [ 自主解答 ] (1) 以點 An － 1( an － 1， a2n － 1)( n ≥ 2) 為切點的切線方程為 y － a2n － 1＝ 2 an － 1( x － an － 1) ． 當 y ＝ 0 時，得 x ＝12an － 1，即 an＝12an － 1. 又 ∵ a1＝ 1 ， ∴ 數列 { an} 是以 1 為首項，12為公比的等比數列． ∴ 通項公式為 an＝??????12n － 1. 核心考點突破 高考熱點透析 解題模型構建 預測演練提能 質量鑄就品牌 品質贏得未來 第二講 高考中的數列 (解答題型 ) 數 學 (2) 由題意，得 Bn????????????12n － 1， n － 1 . ∴ bn＝ OA n g ( bn) ＝ f ( bn)( n ∈ N*) ． (1) 求數列 { an} 的通項公式，并證明數列 { bn－ 1} 是等比數列； (2) 若數列 { cn} 滿足 cn＝an4n － 1 ? bn－ 1 ?＝2 n － 14n － 1 江西高考 ) 正項數列 { an} 的前 n 項和 Sn滿足 ： S2n－ ( n2＋ n － 1 ) Sn－ ( n2＋ n ) ＝ 0. ( 1 ) 求數列 { an} 的通項公式 a