【正文】 OAE′≌△ OBF′ ∴ AE′＝ BF （ 2）作△ AOE′的中線 AM，如圖 3. 則 OE′＝ 2OM＝ 2OD＝ 2OA ∴ OA＝ OM ∵α＝ 30176。EAM 又∵∠ 39。 ∴∠ 39。＋ 60176。求證：四邊形 ABCD是菱形； 【解】（ 1）證明：∵ AB＝ AC， ∴∠ B＝∠ BCA， ∴∠ EAC＝∠ B＋∠ BCA＝ 2∠ B， ∵ AD平分∠ FAC， ∴∠ FAD＝∠ B， ∴ AD∥ BC，??????????????????????????（ 2分） ∴∠ D＝∠ DCE， ∵ CD平分∠ ACE， ∴∠ ACD＝∠ DCE， ∴∠ D＝∠ ACD，????????????????????????（ 3分） ∴ AC＝ AD；??????????????????????????（ 4分） （ 2）證明： ∵ ∠ B＝ 60176。 ，?????????????????????（ 5分） ∴ DC∥ AB, ∵ AD∥ BC， ∴四邊形 ABCD為平行四邊形，?????????????????（ 6分） 又由（ 1）知 AC＝ AD， ∴ AB＝ AD， ∴四邊形 ABCD是菱形．????????????????????（ 7分） 26. （ 2020 山東臨沂， 25， 11 分 )如圖 1，獎(jiǎng)三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角頂點(diǎn) E 與正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A 重合，三角板的一邊交 CD 于點(diǎn) F，另一邊交 CB 的延長線于點(diǎn) G． （ 1）求證： EF＝ EG； （ 2）如圖 2，移動三角板，使頂點(diǎn) E始終在正方形 ABCD的對角線 AC上，其他條件不變 ． （ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請說明理由； （ 3）如圖 3，將（ 2）中的“正方形 ABCD”改為“矩形 ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn) B，其他條件不變，若 AB＝ a,BC＝ b，求 EGEF 的值 ． 圖 1 圖 2 圖 3 （ 1）證明：∵∠ GEB＋∠ BEF＝ 90176?！?IEF＋∠ HEF＝ 90176。 ∴∠ FEN＝∠ GEM， ∴ Rt△ FEN∽ Rt△ GEM, ????????????????（ 10分） ∴ EGEF ＝ EMEN ＝ ab ．????????????????（ 11分） 27. （ 2020上海， 23， 12分）如圖，在梯形 ABCD中， AD//BC， AB＝ DC，過點(diǎn) D作 DE⊥ BC，垂足為 E，并延長 DE至 F，使 EF＝ DE．聯(lián)結(jié) BF、 CF、 AC． （ 1）求證：四邊形 ABFC是平行四邊形； （ 2）如果 DE2＝ BE ． ∴△ CEF∽△ FEB． ∴∠ CFE=∠ FBE． ∵∠ FBE+∠ BFE=90176。求證： BE=CF 【答案】 證明： ∵ 四邊形 ABCD為矩形 ∴ OA=OB=OC=OD AB=CD ∵ AE=DF ∴ OE=OF 在 ΔBOE 與 ΔCOF 中， ??????????OFOEC OFB OEOCOB ∴ ΔBOE ≌ ΔCOF(SAS) ∴ BE=CF 29. （ 2020湖南衡陽， 26， 10分）如圖，在矩形 ABCD中， AD=4， AB=m(m＞ 4)，點(diǎn) P是 AB邊上的任意一點(diǎn)（不與 A、 B重合），連結(jié) PD，過點(diǎn) P作 PQ⊥ PD，交直線 BC于點(diǎn) Q． (1)當(dāng) m=10時(shí)，是否存在點(diǎn) P使得點(diǎn) Q與點(diǎn) C重合？若存在，求出此時(shí) AP的長；若不存在，說明理由； (2)連結(jié) AC，若 PQ∥ AC,求線段 BQ 的長（用含 m的代數(shù)式表示） (3)若△ PQD為等腰三角形，求以 P、 Q、 C、 D為頂點(diǎn)的四邊形的面積 S與 m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 m的取值范圍． 【 解 】 (1) 假設(shè)當(dāng) m=10時(shí)，存在點(diǎn) P使得點(diǎn) Q與點(diǎn) C重合（如下圖）， ∵ PQ⊥ PD∴∠ DPC=90176。 ，∴△ PBC∽△ DAP，∴ PB BCDA AP? ， ∴ 10 44AP AP? ? ，∴ 2AP? 或 8，∴存在點(diǎn) P使得點(diǎn) Q與點(diǎn) C重合，出此時(shí) AP的長2 或 8． (2) 如下圖，∵ PQ∥ AC，∴∠ BPQ=∠ BAC，∵∠ BPQ=∠ ADP，∴∠ BAC=∠ ADP，又∠ B=∠DAP=90176。 DE=CE． ∵∠ ADC=∠ BCD=90176?！?ABE+∠ AFB=90176。． 31. （ 2020廣東肇慶， 20， 7分）如圖，在正方形 ABCD中， E為對角線 AC上一點(diǎn)，連接 EB、ED． （ 1）求證：△ BEC≌△ DEC； （ 2）延長 BE交 AD于點(diǎn) F，若∠ DEB ＝ 140?，求∠ AFE的度數(shù)． 【答案】解：（ 1）證明：∵四邊形 ABCD 是正方形 ∴ CD＝ CB， ∵ AC是正方形的對角線 ∴∠ DCA＝ ∠ BCA 又 CE ＝ CE ∴△ BEC≌△ DEC (2）∵∠ DEB ＝ 140? 由△ BEC≌△ DEC可得∠ DEC ＝ ∠ BEC＝ 140??2＝ 70?， ∴∠ AEF ＝ ∠ BEC＝ 70?， 又∵ AC是正方形的對角線， ∠ DAB＝ 90? ∴∠ DAC ＝ ∠ BAC＝ 90??2＝ 45?， 在△ AEF中，∠ AFE＝ 180?— 70?— 45?＝ 65? 32. （ 2020廣東肇慶， 22， 8分）如圖，矩形 ABCD的對角線相交于點(diǎn) O， DE∥ AC， CE∥ BD． （ 1）求證：四邊形 OCED是菱形； （ 2）若∠ ACB＝ 30?，菱形 OCED的面積為 38 ，求 AC的長． 【答案】解：（ 1）證明：∵ DE∥ OC ， CE∥ OD，∴四邊形 OCED是平行四邊形． ∵四邊形 ABCD是矩形 ∴ AO＝ OC＝ BO＝ OD ∴四邊形 OCED是菱形． A B C D E O A B C D E F （ 2）∵∠ ACB＝ 30176。 又∵ OD＝ OC， ∴△ OCD是等邊三角形 過 D作 DF⊥ OC于 F，則 CF＝21OC，設(shè) CF＝ x ，則 OC＝ 2x ， AC＝ 4x 在 Rt△ DFC中， tan 60176。 AB＝ AD，∴∠ ADP＋∠ APD＝ 90176。 ∴∠ APD＋∠ EPB＝ 90176。 8 分 ∴ aAPADPD2522 ???， aBFPBPF4522 ??? ∴55?? PFBFPDPB 10分 方法二： 假設(shè)△ ADP∽△ BFP，則PFBFPDPB?., ∴∠ ABG+∠ ABF=90176。 ∴∠ 2+∠ 3=∠ BAD∠ EAF=90176。 ． 即 ∠ GAF=∠ _________． 又 AG=AE， AF=AF ∴△ GAF≌ _______． ∴ _________=EF，故 DE+BF=EF． ⑵ 方法遷移： 如圖 ② ，將 ABCRt? 沿斜邊翻折得到 △ ADC，點(diǎn) E， F分別為 DC， BC邊上的點(diǎn)，且 ∠ EAF=21∠DAB．試猜想 DE， BF， EF 之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想． ⑶ 問題拓展： 如圖 ③ ，在四邊形 ABCD中， AB=AD， E， F 分別為 DC,BC 上的點(diǎn)，滿足 DABEAF ??? 21 ,試猜想當(dāng) ∠ B與 ∠ D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得 DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）． 321GEFDCBA（ 第 25 題）① EFDCBA（ 第 25 題 ）② 【答案】 ⑴ EAF、 △ EAF、 GF． ⑵ DE+BF=EF，理由如下： 假設(shè) ∠ BAD的度數(shù)為 m ，將 △ ADE繞點(diǎn) A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) ?m 得到 △ ABG，此時(shí) AB與 AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得： AB=AD,BG=DE, ∠ 1=∠ 2， ∠ ABG=∠ D=90176。 ， 因此，點(diǎn) G， B， F在同一條直線上． ∵∠ EAF= ?m21 ∴∠ 2+∠ 3=∠ BAD∠ EAF= ????? mmm2121 ∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ 1+∠ 3= ?m21． 即 ∠ GAF=∠ EAF 又 AG=AE， AF=AF ∴△ GAF≌△ EAF． ∴ GF=EF， 又 ∵ GF=BG+BF=DE+BF ∴ DE+BF=EF． ⑶ 當(dāng) ∠ B與 ∠ D互補(bǔ)時(shí)，可使得 DE+BF=EF． 35. （ 2020江蘇鹽城， 27， 12分） 情境觀察 321GEFDCBA（ 第 25 題 ）②解得圖 EFDCBA（ 第 25 題 ）③ 將 矩形 ABCD 紙片 沿對角線 AC 剪開，得到 △ ABC 和 △ A′ C′D ，如圖 1 所示 .將△ A′ C′D 的頂點(diǎn) A′ 與點(diǎn) A重合，并 繞點(diǎn) A按 逆時(shí)針 方向 旋轉(zhuǎn) ，使點(diǎn) D、 A(A′ )、 B在同一條直線上，如圖 2所示． 觀察圖 2可知：與 BC相等的線段是 ▲ ，∠ CAC′ = ▲ 176。 )C 39?！唷?ABG=∠ EAP. ∵ EP⊥ AG，∴∠ AGB=∠ EPA=90176。 ∴∠ ABG=∠ EAP. ∵∠ AGB=∠ EPA=90176。 , ∠M=144176。 ,PI=PJ=a+b,IQ=跡 .(本題中均為無重疊、無縫隙拼接 ) 【答案】（ 1）∠ B=72176。．∴ EF∥ CA ∴∠ AEF =∠ EAC ∵ AF = CE = AE ∴∠ F =∠ AEF =∠ EAC =∠ ECA 又 ∵ AE = EA ∴△ AEC≌△ EAF，∴ EF = CA，∴四邊形 ACEF是平行四邊形 ． （ 2）當(dāng)∠ B=30176。 ② DE⊥ EG； （ 2）尺規(guī)作圖：以線段 DE， DG 為邊作出正方形 DEFG（要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明）； （ 3）連接（ 2）中的 KF，猜想并寫出四邊形 CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想； （ 4）當(dāng) n1?CBCE 時(shí)，請直接寫出DEFGABCDSS正方形正方形 的值 . 第 25 題圖 圖 12B CA DGEK 【答案】 （ 1）證明：∵四邊形 ABCD 是正方形，∴ DC=DA，∠ DCE=∠ DAG=90176。 證明：設(shè) CK,DE 相交于 M 點(diǎn)，∵四邊形 ABCD 和四邊形 DEFG 都是正方形，∴ AB∥CD,AB=CD,EF=DG,EF∥ DG。 ,∴ CK∥ EF,∴四邊形CKEF為平行四邊形。 ⑶ 將 Rt△ ABC向左平移 cm4 ，求四邊形 DHCF的面積 . 【答案】 （ 1）證明 ：∵△ ABC≌△ DEF，∴ AC=DF,∠ ACB=∠ DFE，∴ AC∥ DF， ∴四邊形 ACFD是平行四邊形； （ 2）在 Rt△ ABC中，由勾股定理得 AC=10cm，要使四邊形 ACFD為菱形，則 AC=CF， ∴可將 Rt△ ABC向左平移 10cm或向右平移 10cm； （ 3）在 Rt△ ABC中， 63ta n 84ABA C B BC? ? ? ?． ∴當(dāng) Rt△ ABC向左平移 cm4 時(shí)， EC=BCBE=84=4（ cm）， 在 Rt△ HEC中， 3ta n 4 34H E E C A C B? ? ? ? ?． ∴四邊形 DHCF的面積為： 118 6 4 3 1 822? ? ? ? ? ?cm2． 41. （ 2020湖北荊州， 19， 7分）（本題滿分 7分）如圖， P是矩形 ABCD下方一點(diǎn)，將△ PCD繞 P點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。 所以 △ABE 是等邊三角形 . l 圖 (1) A(D) B(E) C(F) D l 圖 (2) F E C B A H