福建省20xx屆高中畢業(yè)班數(shù)學(xué)學(xué)科二輪備考關(guān)鍵問題指導(dǎo)系列六(解析幾何典例剖析及資源推送)-預(yù)覽頁
【正文】 變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。此題的關(guān)鍵是：合理構(gòu)建符合題意的圖像，挖掘幾何性質(zhì)，從中轉(zhuǎn)化抽象出參數(shù)的等量關(guān)系式；注意用好雙曲線中與參數(shù)有關(guān)的幾個(gè)不變量：（1）雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離是；（2）雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離是．（3）本題從特殊值角度令關(guān)聯(lián)基本量，則可大幅度減小計(jì)算量． （三）最值與范圍【例5】（2016年全國卷Ⅱ理20）已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，是的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，．（1）當(dāng)，時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．解析：（1）解法一：當(dāng)時(shí)，由于，根據(jù)對稱性可知，所以 得，所以．又，所以，所以．解法二：設(shè)點(diǎn)，且交軸于點(diǎn)． 因?yàn)?，且，所以?．由，得．又，所以，解之得或．所以 ，所以．（2）設(shè)直線，．則，所以； 同理．因?yàn)?，所以．，所以．【評析】本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，直線和橢圓的位置關(guān)系，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力。具體的解析幾何問題，圓的問題主要是定義和性質(zhì)；圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）主要是曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、曲線性質(zhì)（焦點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線、漸近線）；綜合性問題主要是位置關(guān)系、范圍、面積、定點(diǎn)、定值等。考查的關(guān)鍵能力主要是邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力。【例2】（2008年江蘇卷18）在平面直角坐標(biāo)系中，記二次函數(shù)（）與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)．經(jīng)過三個(gè)交點(diǎn)的圓記為．（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）求圓的方程；（3）問圓是否經(jīng)過定點(diǎn)（其坐標(biāo)與的無關(guān)）？請證明你的結(jié)論．解析： （1）令＝0，得拋物線與軸交點(diǎn)是（0，b）；令，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．（2）設(shè)所求圓的一般方程為令＝0 得這與＝0 是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝．令＝0得＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E＝―b―1．所以圓C 的方程為.（3）圓C 必過定點(diǎn)（0，1）和（－2，1）．證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊＝0＋1＋20－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0，所以圓C 必過定點(diǎn)（0，1）．同理可證圓C 必過定點(diǎn)（－2，1）．【評析】本題載體二次函數(shù)和圓，設(shè)問自然大方，、形中有數(shù)，靜中求動(dòng)、動(dòng)中求不變，水乳交融，渾然一體，角度不同，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，將冰冷的曲線與方程的理性認(rèn)識演繹成火熱的思考，考查了待定系數(shù)法、坐標(biāo)法、方程思想等，充分展示笛卡兒“方法論”的魅力，（1）問，突出了數(shù)形結(jié)合思想在解決問題的優(yōu)化作用；第（2）問是典型的知曲線求方程的問題，關(guān)鍵是能弄清問題的特殊性——分析幾何要素，圓、拋物線與坐標(biāo)軸交于相同的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)圓方程與二次函數(shù)的代數(shù)關(guān)系；第（3）問是知方程研究曲線，可以通過特例先發(fā)現(xiàn)所經(jīng)過的定點(diǎn)，再用曲線系知識就容易破解。解決問題的關(guān)鍵在于，合理建立坐標(biāo)系，恰當(dāng)?shù)乇碚鲙缀螌ο?，如傾斜角的引進(jìn)，以及與斜率的互化，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性。試題以拋物線、拋物線與直線的位置關(guān)系為載體，設(shè)置具有一定關(guān)聯(lián)的探究情境，綜合考查拋物線的概念與性質(zhì)。總之，解析幾何問題綜合性強(qiáng)、應(yīng)用面廣，所以在高三復(fù)習(xí)中，一定要抓住本源的思路，“點(diǎn)與坐標(biāo)”、“曲線與方程”兩個(gè)互化上思考問題，注重通性通法，注重運(yùn)算能力，自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析、推理、運(yùn)算，提高復(fù)習(xí)效率。這類問題的解決，突出方程的思維。體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性和創(chuàng)新性。【例7】（2020年全國Ⅰ卷第20題）已知A、B分別為橢圓E：（a1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點(diǎn).解析：（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：， ，，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為直線的方程為：，整理可得：整理得：,故直線過定點(diǎn). 【評析】本題是綜合性題目，屬于探索創(chuàng)新情境，具體以橢圓和直線的位置關(guān)系為載體，以直線過定點(diǎn)問題，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查理性思維和數(shù)學(xué)探索，示例中給出了此類問題的基本思路與解法，當(dāng)然，對直線過定點(diǎn)問題還可以理解為三點(diǎn)共線，如此可以選擇設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)推演與定點(diǎn)的斜率關(guān)系等式，創(chuàng)新性地解決問題 ，關(guān)鍵是弄清幾何問題，選擇合理的代數(shù)方法。第（2）問，運(yùn)用分析法，假設(shè)，則，可化為拋物線的定義的定義分析。利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；求某線段長度為定值。故
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