亞正定變換研究-全文預覽
【正文】 要條件是 ? 在 V 的任 一標準正交基下的矩陣是正規(guī)變換 . 證明 設 ? 在標準正交基 12, , , n? ? ? 下的矩陣為 A ，則 39。nn A? ? ? ? ? ? ??故有 1 2 1 2 1 239。( , , , ) ( , , , ) 39。? ? ??? 時，有 39。39。 ( , , , )nC A C D diag ? ? ??? ，其中 1,n??為 A 的 n個特征值，因 1??? ，（ 1, ,in? ） 即 2 1i?? ，所以 139。) 39。A CDC CD C CD C?? ? ? ，從而 139。? 對應特征值 ? 的特征向量 . 證明 設 ?? ??? ，則 0?? ????，于是 ( , ) 0?? ?? ?? ??? ? ?，因2( 39。 ) ( 39。 ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?8 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ( , ) 0?? ?? ?? ??? ? ? ? 所以 39。? ? ??? ，因( , )??? ? ( , ) ( , ) ( , 39。?? ??? ， ? 是 39。 ) ( , )? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2( , ) ( 39。 ) ( 39。 39。 39。D D E D D???，即139。39。A A AA? ，即 A 是正規(guī)矩陣。n n nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 7） 由（ 6）（ 7）知，當 39。( , , , ) ( , , , ) 39。A ，即 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nn A? ? ? ? ? ? ??， 1 2 1 239。X AB X X AB X X AB X? ? ? ? ? ? ?. 根據(jù)文獻 [10]的引理 5，有 AB為亞正定矩陣，從而 39。 ( 39。 ) 39。 39。??? 為正定變換 . 定理 6 設 ? 為亞正定變換， ? 為正定變換，且 ?? ??? ，則 ?? 為亞正定變換 . 證明 設 12, , , n? ? ? 為任一標準正交基 ,? ， ? 在標準正交基 12, , , n? ? ? 下的矩陣分別為 A ， ? 為亞正定變換，即 0,V?? ? ? 有 ( , ) 39。 , ) 0?? ? ? ? ??? 由（ 5）式得 2( , ) 0?? ? ? .從而 0,V?? ? ? 有 ( , ) 0??? ? .故 ? 為亞正定變換 . （必要性） ? 為亞正定變換，由定理 4 得 , 39。) )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 故 39。 39。( 39。) , ) 39。) ( , , , ) ( 39。 , ) 39。 ) 39。nn A? ? ? ? ? ? ?? 根據(jù) ? 的定義有 1212( , , , )nnxxAx?? ? ? ?????????????? 且 121239。39。? 是亞正定變換 . 注 由于 ? 與 39。 39。( , , , ) ( , , , ) 39。0X AX? ，由0?? 及任意性，得知 X 是任意的 n 維非零列向量，于是 A 為亞正定矩陣 . （充分性）反之，若 A 為亞正定矩陣，則 39。我們首先定義與亞正定陣相對應的亞正定變換，進一步引入正定變換等概念，借助共軛變換，引入正規(guī)變換，并探討它們的相關聯(lián)系，獲得一些有益結果。 conjugate transformation。 regular transformation ?，F(xiàn)在提出問題：能否在歐氏空間中定義一種線性變換，使它與亞正定矩陣相對應，借助對這種特殊線性變換的研究，重新獲得亞正定矩陣的有關結果，更重要的是，能深入的理解亞正定矩陣的幾何意義，推廣一些現(xiàn)有結果 . 本文將在這些方面作些嘗試。AX X X AX? ? ? ?? （ 1） 3 （必要性）若 ? 是亞正定變換，則 (
醫(yī)療健康相關推薦
鄂ICP備17016276號-1