【正文】 B，并延長 BO與切線 PA相交于點 Q． （ 1）求證： PB是 ⊙ O的切線； （ 2）求證： AQ? PQ＝ OQ? BQ； （ 3）設(shè) ∠ AOQ＝ ? ．若 cos? ＝ 45 ． OQ＝ 15．求 AB的長 考 查知識 點： 直線與圓的位置關(guān)系，切線，切線長，相似，解直角三角形，綜合題． 疑難點 分析： （ 1）要證 PB是⊙ O的切線，只要證明∠ PBO＝ 90176。 ∴△ ABC 是 等邊三角形．在 Rt△ ABE 中， ∵ 3?BE ， ??? 30BAE 錯誤 !未找到引用源。． （ 2）解法一：因為 △ ABC的邊 BC的長不變，所以當 BC邊上的高最大時， △ ABC的面積最大，此時點 A落在優(yōu)弧 BC的中點處．（ 5分） 過 O作 OE⊥ BC于 E，延長 EO交 ⊙ O于點 A，則 A為優(yōu)弧 BC的中點．連接 AB， AC，則 AB=AC，????? 3021 B A CB A E 錯誤 !未找到引用源。 ∴????? 6021 B O CB A C ． 解法二：連接 BO并延長，交 ⊙ O于點 D，連接 CD.∵ BD是直徑， ∴ BD=4， ∠ DCB=90176。 ， ∴ 3?? ECBE 錯誤 !未找到引用源。 ，tan30176。 ，點 A為弦 BC 所對優(yōu)弧上任意一點（ B， C兩點除外）． （ 1）求 ∠ BAC的度數(shù)； （ 2）求 △ ABC面積的最大值． （參考數(shù)據(jù)： sin60176。 =2錯誤 !未找到引用源。 =錯誤 !未找到引用源。 ∴∠ DAB=30176。 ∴ OD⊥ BC， 即直線 BC與⊙ O的切線， ∴直線 BC與⊙ O的位置關(guān)系為相切； （ 2）過點 D作 DM⊥ AB于 M， ∴∠ DMB=∠ C=90176。則問題得證；（ 2）過點D作 DM⊥ AB于 M，由角平分線的性質(zhì)可證得 DM=CD，又由△ BDM∽△ BAC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得 CD： AC=錯誤 !未找到引用源。 ，∠ BAC的角平分線 AD交 BC邊于 D。∴∠ DOB+∠ B=90176。 415 ，∴⊙ O的半徑為 415 錯誤 !未找到引用源。 疑難點 分析： （ 1）由 AD是小圓的切線可知 OM⊥ AD，再由四邊形 ABCD是矩形可知， AD∥ BC，AB=CD，故 ON⊥ BC，由垂徑定理即可得出結(jié)論； （ 2）延長 ON 交大圓于點 E，由于圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為 6cm， AB=5cm 可知ME=6cm，在 Rt△ OBE中，利用勾股定理即可求出 OM 的長． 解答： 解：（ 1）∵ AD是小圓的切線， M為切點， ∴ OM⊥ AD， ∵四邊形 ABCD是矩形， ∴ AD∥ BC， AB=CD， ∴ ON⊥ BC， BE=BC=5cm， ∴ N是 BC的中點； （ 2）延長 ON交大圓于點 E， ∵圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為 6cm， AB=5cm， ∴ ME=6cm， 在 Rt△ OBE中，設(shè) OM=r OB2=BC2+（ OM+MN） 2，即（ r+6） 2=52+（ r+5） 2，解得 r=7cm， 故小圓半徑為 7cm． 5. （ 2020鹽城， 25， 10分）如圖，在△ ABC中，∠ C=90176。得到 AB是⊙ P的直徑，由此即可證明點 P在線段 AB上； （ 2）如圖，過點 P 作 PP1⊥ x軸， PP2⊥ y 軸，由題意可知 PP PP2是△ AOB 的中位線，故 S△ AOB＝ 21 OA OB＝ 21 2 PP1 PP2，而 P是反比例函數(shù) y＝ x6 （ x＞ 0）圖象上的任意一點，由此即可求出 PP1 PP2=6，代入前面的等式即可求出 S△ AOB； （ 3）如圖，連接 MN，根據(jù)（ 1）（ 2）則得到 MN過點 Q，且 S△ MON=S△ AOB=12，然后利用三角形的面積公式得到 OA? OB=OM? ON，然后證明△ AON∽△ MOB，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題． 解答： 解：（ 1）點 P在線段 AB上，理由如下： ∵點 O在⊙ P上，且∠ AOB=90176。 ∴∠ DAC=60176。 ∴∠ BOD=2∠ DAB=100176。 ∵ OB=2，∠ B=30176。 AC=3cm， ∵點 P在⊙ O內(nèi)部，∴⊙ P與⊙ O只能內(nèi)切， ∴ 5﹣ 2t=3，或 2t﹣ 5=3， ∴ t=1或 4， ∴⊙ P與⊙ O相切時， t的值為 1或 4． 2. （ 2020 江蘇蘇州， 26， 8 分）如圖，已知 AB 是⊙ O 的弦， OB=2，∠ B=30176。 ， 即 46 10PD?錯誤 !未找到引用源。 疑難點 分析： （ 1）根據(jù)已知求出 AB=10cm，進而得出△ PBD∽△ ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得出圓心 P到直線 AB的距離等于⊙ P的半徑，即可得出直線 AB 與⊙ P相切； （ 2）根據(jù) BO=錯誤 !未找到引用源。 考查知識點：圓周角定理 疑難點分析：圓周角 =弧度數(shù)的一半，弧 AB=180， ∠ 1+∠ 2=90 1 如圖 4，⊙ O是正方形 ABCD的外接圓，點 P 在⊙ O上，則∠ APB等于 __45_______ 考查知識點：圓周角 疑難點分析：弧 AB=360? 41 =90，所以 ∠ APB= 459021 ?? _ C_ B_ A _ O _ 2_ 1_ O _ C_ B_ E_ D _ A C P D O B A 圖 4 1 （ 2020年山東省東營市， 12， 3分 ）如圖，直線 3 33yx??與 x軸、 y軸分別相交于 A， B兩點，圓心 P的坐標為（ 1， 0），圓 P與 y軸相切于點 O．若將圓 P沿 x軸向左移動，當圓 P與該直線相交時，橫坐標為整數(shù)的點 P的個數(shù) 有 ____3___個 考 查知識 點： 直線與圓的位置關(guān)系 ； 一次函數(shù)綜合題 ． 疑難點 分析： 根據(jù)直線與坐標軸的交點，得出 A， B的坐標，再利用三角形相似得出圓與直線相切時的坐標，進而得出相交時的坐標． 解答： 解： ∵ 直線 3 33yx??與 x軸、 y軸分別相交于 A， B兩點， 圓心 P的坐標為（ 1， 0）， ∴ A點的坐標為： 0= 33 x+ 3 ， x=3， A（ 3， 0）， B點的坐標為：（ 0， 3 ）， ∴ AB=2 3 ， 將圓 P沿 x軸向左移 動，當圓 P與該直線相切與 C 1時， P1C1=1， 根據(jù) △ AP1C1∽△ ABO， ∴ 1113 2 3AP APAB??， ∴ AP1=2， ∴ P1的坐標為：（ 1， 0）， 將圓 P沿 x軸向左移動，當圓 P與該直線相切與 C 2時， P2C2=1， 根據(jù) △ AP2C2∽△ ABO， ∴ 2213 2 3AP APAB??， ∴ AP2=2， P2的坐標為：（ 5， 0）， 從 1到 5，整數(shù)點有 2， 3， 4，故橫坐標為整數(shù)的點 P的個數(shù)是 3個． 1 （ 2020黑龍江雞西， 8， 3分）如圖 ， A、 B、 C、 D是⊙ O上的四個點， AB=AC， AD交 BC于點 E， AE=3， ED=4，則 AB的長為 ___ 21 _______ 考 查知識 點 ：圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì) . 疑難點 分析 ：根據(jù)圓周角定理可得∠ ACB=∠ ABC=∠ D，再利用三角形相似△ ABD∽△ AEB，即可得出答案． 解答 ：解：∵ AB=AC，∴∠ ACB=∠ ABC=∠ D， ∵∠ BAD=∠ BAD，∴△ ABD∽△ AEB，∴ AB ADAE AB?錯誤 !未找到引用源。 ． 解答： 解：連接 EC． _ O _ D _ C_ A _ B根據(jù)圓周角定理∠ ECO=∠ OBE． 在 Rt△ EOC中， OE=4， OC=5， 則 tan∠ ECO=錯誤 !未找到引用源。 。 ． 考查知識點：等邊三角形、圓心角、弧長 疑難點分析：連半徑構(gòu)造等邊三角形 一個圓錐的側(cè)面積是底面積的 2倍，則該圓錐的側(cè)面展 開圖扇形的圓心角度數(shù)是 180 ． 考查知識點：圓錐的側(cè)面積、圓心角 疑 難 點 分 析 ： 2r2r221s ππ側(cè) ????? R， 所 以 R=2r ，22 2121221r221360 RRRRRn ππππ ???????? ，所以 n=180度 如圖，△ ABC是 ⊙ O的內(nèi)接三角形，點 D是弧 BC的中點，已知 ∠ AOB=98176。 考查知識點：等腰三角形、圓心角與圓周角的關(guān)系 疑難點分析： OB=OA=OC， ∠ BAO=α ， ∠ CAO=β ，所以 ∠ BAC=α +β ，所以 ∠ BOC=2（ α +β ） 解答：選 B 填空題： 若⊙ O的半徑為 5，弦 AB 的弦心距為 3，則 AB= 8 ． 考查知識點：垂徑定理 疑難點分析：連半徑構(gòu)造直角三角形 已知扇形的弧長為π，半徑為 1，則該扇形的面積為 2π ． 考查知識點：扇形面積公式 疑難點分析： S=21 lR=21 π??1 若⊙ O1與⊙ O2外切于點 A，它們的直徑分別為 10cm和 8cm，則圓心距 O1O2= 9cm ． 考查知識點：圓與圓的位置關(guān)系，圓心距 疑難點分析：兩圓外切時，圓心距 d=R+r=5+4=9，學生容易漏寫單位 如圖 4，已知⊙ O的半徑是 6cm，弦 CB=63cm， OD⊥ BC，垂足為 D，則∠ COB= 0120 ． 考查知識點：垂徑定理，直角三角形 30度所對的直角邊為斜邊的一半。 ，故本選項錯誤； 故選 C． 1 （ 2020黑龍江雞西， 8， 3分）如圖， A、 B、 C、 D是⊙ O上的四個點， AB=AC， AD交 BC于點 E， AE=3， ED=4，則 AB的長為 （ C ） A .3 B .2 3 C. 21 D .3 5 考 查知識 點 ：圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì) . 疑難點 分析 ：根據(jù)圓周角定理可得∠ ACB=∠ ABC=∠ D，再利用三角形相似△ ABD∽△ AEB，即可得出答案． 解答 ：解：∵ AB=AC，∴∠ ACB=∠ ABC=∠ D， ∵∠ BAD=∠ BAD，∴△ ABD∽△ AEB，∴ AB ADAE AB? 錯誤 !未找到引用源。 ；設(shè)圓的半徑是 x，圓切 AC于 E，切 BC于 D，且 AB于 F，同樣得到正方形 OECD，根據(jù) a﹣ x+b﹣ x=c，求出 x即可；設(shè)圓切 AB于 F，圓的半徑是 y，連接 OF，則△ BCA∽△ OFA得出 ABAOBCOF? ，代入求出 y即可． 解答： 解： C、 連接 OE、 OD， ∵ AC、 BC分別切圓 O于 E、 D， ∴∠ OEC=∠ ODC=∠ C=90176。D．以上說法都不對 解答：選 D 考查的知識點 ：圓心角定理及其推論 解題疑難點：容易忽視圓心角定理的前提條件：在同圓或等圓中 1 在同圓中，圓心角∠ AOB=2∠ COD，則兩條弧 AB 與 CD關(guān)系是（ A ） A .A B =2 C D B． A B C D C． A B 2 C D D．不能確定 解答：選 A 考查的知識點：圓心角定理 解