迎戰(zhàn)20xx年高考數(shù)學(xué)-函數(shù)的奇偶性與周期公式推導(dǎo)方法-全文預(yù)覽
【正文】 象函數(shù)的周期 （ 1）若函數(shù) )(xf 滿足 )()( xbfxaf ??? )( ba? ，則 )(xf 的周期是 T b a?? （ 2）若函數(shù) )(xf 滿足 )()( xbfxaf ???? )( ba? ，則 )(xf 的周期是 2T b a?? （ 3）若函數(shù) )(xf 滿足 1)()( ????? xbfxaf )( ba? ，則 )(xf 的周期是 2T b a?? （ 4）函數(shù)圖象有 ax? ， )( babx ?? 兩條對稱軸型，即 ()f x a? = ()f a x? ，()f b x? = ()f b x? ，則 ()fx的周期是 2T b a?? （ 5）函數(shù) ()fx滿足 1 ( )( ) ( )1 ( )f x af x a a bf x b??? ? ???，則 ()fx的周期是 2T b a?? 5 證明：（ 1） （ 2）對于定義域中任意 x 滿足 )(0)()( baxbfxaf ????? ，則有 )()]22([ xfabxf ??? ，故函數(shù) )(xf 的周期是 )(2 abT ?? （ 3）若 )(1)()( babxfaxf ????? ，則得 )]22()2[()2( abaxfaxf ????? ，所以函數(shù))(xf 的周期是 abT 22 ?? ；同理若 )(1)()( babxfaxf ?????? ，則 )(xf 的周期是)(2 abT ?? （ 4）函數(shù)圖象有 ax? ， )( babx ?? 兩條對稱軸，即 )()( xafxaf ??? ，)()( xbfxbf ??? ，從而得 )()]22([ xfabxf ??? ，故函數(shù) )(f 的周期是 )(2 abT ?? （ 5）由 )()(1 )(1)( babxf bxfaxf ??? ???? 得 )2( 1)2( bxfaxf ???? ，進(jìn)而得1)2()2( ????? bxfaxf ，由前面的結(jié)論得 )(xf 的周期是 )(4 abT ?? 例、 已知定義在 R 上的偶函數(shù) ()fx滿足 ( 2) ( ) 1f x f x? ? ?對于 xR? 恒成立，且 ( ) 0fx? ，則 (119)f ? [解析 ]由 ( 2) ( ) 1f x f x? ? ?得到 )(1)2( xfxf ?? ，從而得 )()4( xfxf ?? ，可見 )(xf 是以 4為周期的函數(shù)，從而 )3()3294()119( fff ???? ，又由已知等式得 1(1)3( ff ? 又由 ()fx是 R 上的偶函數(shù)得 )1()1( ?? ff ，又在已知等式
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