迎戰(zhàn)20xx年高考數(shù)學(xué)-函數(shù)的奇偶性與周期公式推導(dǎo)及例題解析-全文預(yù)覽
【正文】 22xx ??? = 21 xx? ，這時(shí)有 f（－ x） = 21 ( )xx??? =－ 21 xx? =－ f（ x），故 f（ x）為奇函數(shù) . （ 4）∵函數(shù) f（ x）的定義域是（－∞， 0）∪（ 0， +∞），并 且當(dāng) x＞ 0 時(shí)，－ x＜ 0， ∴ f（－ x） =（－ x）［ 1－（－ x）］ =－ x（ 1+x） =－ f（ x）（ x＞ 0） . 當(dāng) x＜ 0 時(shí)，－ x＞ 0，∴ f（－ x） =－ x（ 1－ x） =－ f（ x）（ x＜ 0） . 故函數(shù) f（ x）為奇函數(shù) . 評(píng)述：（ 1）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明 .（ 2）判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡(jiǎn)函數(shù)解析式 . ②證明抽象函數(shù)的奇偶性 例 已知 f（ x）是定義在 R 上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的 a， b∈ R 都滿(mǎn)足： f（ a 11 xx??； （ 3） 21()| 2 | 2xfx x ?? ??； （ 4） (1 ) ( 0 ) ,()(1 ) ( 0 ) .x x xfx x x x???? ? ??? 剖析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷 . 解： （ 1）函數(shù)的定義域 x∈（－∞， +∞），對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn) . ∵ f（－ x） =|－ x+1|－ |－ x－ 1|=|x－ 1|－ |x+1|=－（ |x+1|－ |x－ 1|） =－ f（ x）， ∴ f（ x） =|x+1|－ |x－ 1|是奇函數(shù) . 先確定函數(shù)的定義域 .由 11xx??≥ 0，得－ 1≤ x＜ 1，其定義域不對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)，所以 )(xf既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。 0） =0 f（ 1） +1 （ 2）若 )( xafy ?? 是偶函數(shù) ? )()( xafxaf ??? ? (xf 的圖象關(guān)于直線(xiàn) ax? 對(duì)稱(chēng)； 若 )( xbfy ?? 是奇函數(shù) ? )()( xbfxbf ???? ? )(xf 的圖象關(guān)于點(diǎn) )0,(b 中心對(duì)稱(chēng)； 4 例、 若函數(shù) )(xf 在 ),4( ?? 上為減函數(shù)，且對(duì)任意的 Rx? ，有 )4()4( xfxf ??? ，則 A、 )3()2( ff ? B、 )5()2( ff ? C、 )5()3( ff ? D、 )6()3( ff ? （ 1）偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為 0）仍為偶函數(shù)。 （ 1）若 )(xf 是奇函數(shù)且在 0?x 處有定義，則 0)0( ?f 。 周期性不僅僅是 三角函數(shù)的專(zhuān)利，抽象函數(shù)的周期性是高考熱點(diǎn)，主要難點(diǎn)是抽象函數(shù)周期的發(fā)現(xiàn)，主要有幾種情況： 抽象函數(shù)的周期 （ 1）若函數(shù) )(xf 滿(mǎn)足 )()( xbfxaf ??? )( ba? ，則 )(xf 的周期是 T b a?? （ 2）若函數(shù) )(xf 滿(mǎn)足 )()( xbfxaf ???? )( ba? ，則 )(xf 的周期是 2T b a?? （ 3）若函數(shù) )(xf 滿(mǎn)足 1)()( ????? xbfxaf )( ba? ，則 )(xf 的周期是 2T b a?? （ 4）函數(shù)圖象有 ax? ， )( babx ?? 兩條對(duì)稱(chēng)軸型，即 ()f x a? = ()f a x? ，()f b x? = ()f b x? ，則 ()fx的周期是 2T b a?? （ 5）函數(shù) ()fx滿(mǎn)足 1 ( )( ) ( )1 ( )f x af x a a bf x b??? ? ???，則 ()fx的周期是 2T b a?? 5 證明：（ 1） （ 2）對(duì)于定義域中任意 x 滿(mǎn) 足 )(0)()( baxbfxaf ????? ，則有? ?( ( 2 2 ) ( )f x b a f x? ? ?，故函數(shù) )(xf 的周期是 )(2 abT ?? （ 3）若 ( ) ( ) 1 ( )f x a f x b a b? ? ? ? ?，則得 ? ?( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 )f x a f x a b a? ? ? ? ?，所以函數(shù) ()fx的周期是 abT 22 ?? ；同理若 ( ) ( ) 1 ( )f x a f x b a b? ? ? ? ? ?，則 ()fx的周期是 2( )T b a?? （ 4）函數(shù)圖象有 ax? ， )( babx ?? 兩條對(duì)稱(chēng)軸，即 )()( xafxaf ??? ，)()( xbfxbf ??? ，從 而得 ? ?( 2 ) ( 2 2 ) ( )f x a b a f x? ? ? ?，故函數(shù) )(xf 的周期是2( )T b a?? （ 5）由 1 ( )( ) ( )
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