【正文】 ................. 18 用 Matlab 設(shè)計(jì) IIR 濾波器的實(shí)例 ....................................................................... 21 利用所設(shè)計(jì)的 IIR 濾波器處理波形 ..................................................................... 24 利用濾波器處理音頻波形 .................................................................................. 27 參考文獻(xiàn) ........................................................................................................................ 32 附錄一 外文原文及翻譯 .......................................................................................... 33 附錄二 利用 Matlab 實(shí)現(xiàn) IIR 濾波器設(shè)計(jì) 源 程序 ...................................................... 44 華北水利水電學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）開題報(bào)告 .............................................. 55 I 基于 Matlab 的 IIR 數(shù)字濾波器設(shè) 計(jì) 摘要 在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號(hào)中經(jīng)常混有各種復(fù)雜成分，所以很多信號(hào)分析都是基于濾波器而進(jìn)行的。然后文中對(duì) IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)作了一定的介紹。 Matlab 。由于電子計(jì)算機(jī)技術(shù)和大規(guī)模集成電路的發(fā)展，數(shù)字濾波器已經(jīng)可以用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)，也可以用大規(guī)模集成數(shù)字硬件實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。為得到模擬信號(hào)，數(shù)字濾波器處理的輸出信號(hào)應(yīng)經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換、平滑。初期，一般認(rèn)為 IIR 濾波器比 FIR 濾波器具有更 高的運(yùn)算效率，因而都很傾向前者，然而當(dāng)人們提出用快速傅里葉變換（ FFT）實(shí)現(xiàn)卷積運(yùn)算的概念之后，發(fā)現(xiàn)高階FIR 濾波器也可以用很高的運(yùn)算效率來實(shí)現(xiàn)，這就促使人們對(duì)于高性能的 FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法和濾波器的領(lǐng)域設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了大量的研究，從而使此后的數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中頻域方法和時(shí)域方法并駕齊驅(qū)的局面。 數(shù)字信號(hào)處理理論與技術(shù)的發(fā)展，替代了原來的模擬信號(hào)處理中的線性濾波與頻譜分析所應(yīng)用的模擬計(jì)算機(jī)和分立 L、 C、 R 線性網(wǎng)絡(luò)，高度發(fā)揮了數(shù)字技術(shù)與計(jì)算技術(shù)相結(jié)合的2 特色和優(yōu)越性。通過濾波器時(shí)不受衰減或者很小衰減的頻帶稱為通帶，經(jīng)受的衰減超過規(guī)定值的頻帶稱為阻帶，位于通帶和阻帶之間的稱為過渡帶。目前，在諸如通信、雷達(dá)、聲納、測(cè)量、語言和生物醫(yī)學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域的信號(hào)處理中，已經(jīng)運(yùn)用了數(shù)字處理技術(shù)，而且隨著數(shù)字計(jì)算技術(shù)和大規(guī)模集成電路技術(shù)的發(fā)展，它的應(yīng)用會(huì)越來越廣泛。同時(shí)， IIR濾波器是遞歸結(jié)構(gòu)，其相位是非線 性的，并且它的選擇性越好，相位的非線性就越嚴(yán)重。 FIR 濾波器沒有現(xiàn)成計(jì)算公式，必須借助計(jì)算機(jī)軟件 (如 Matlab)來計(jì)算。輸入數(shù)字信號(hào)（數(shù)字序列）通過特定的運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質(zhì)上是一個(gè)完成特定運(yùn)算的數(shù)字計(jì)算過程，也 可以理解為是一臺(tái)計(jì)算機(jī)。輸入序列的頻譜 )( jweX 經(jīng)過濾波后 )()( jwjw eHeX ,因此，只要按照輸入信號(hào)頻譜的特點(diǎn)和處理信號(hào)的目的，適當(dāng)選擇 )( jweH ，使得濾波后的 )()( jwjw eHeX 滿足設(shè)計(jì)的要求，這就是數(shù)字濾波器的 濾波原理。 Matlab 是一種用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)可視化及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)計(jì)算機(jī)語言和交互環(huán)境，除了繪制函數(shù)、矩陣運(yùn)算、繪制數(shù)據(jù)圖像等常用功能外， Matlab 還可以用來創(chuàng)建用戶界面以及能調(diào)用其他的語言 (C、 C++和 FORTRAN 等 )編寫的程序。里特 (Jack Little)、斯提夫 莫勒爾利用 FORTRAN 語言編寫的，后來又利用 C 語言重新編寫并增加了一些新的功能，同時(shí)，里特還開發(fā)了第一個(gè)系統(tǒng)控制工具箱，其中里面的一些代碼至今 仍在使用， C 語言版的 在 IEEE決策與控制會(huì)議正式推出，到 1992年，學(xué)生版的 Matlab 推出； 1993年，Windows 版的 Matlab 推出， 1995 年，推出了 Linux版 [5]。數(shù)字濾波器就5 是對(duì)不同頻率的數(shù)字信號(hào)從頻域進(jìn)行信號(hào)分離的時(shí)序電路或器件或一段程序 [5]。所以，數(shù)字濾波器的通帶分布如圖 22 所示。 }),1(),1(,{}),1(),(),1(,{)( ???? ?????? nynygnxnxnxfny （ 26） 若系統(tǒng)是線性、移 不變、因果的，則有 ? ?? ? ???? Mk kkkk baknyaknxbny 0 N 1k )( )( )()( 為常數(shù)、 (27) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù) IIR 數(shù)字濾波器的差分方程的一般形式為： ? ?? ? ???? Mk kkkk baknyaknxbny 0 N 1k )( )( )()( 為常數(shù)、 （ 28） 對(duì)兩邊進(jìn)行雙邊 z 變換得： ? ?? ? ?? ?? Mk kkkk zYzazXzbzY 0 N 1k )( )()( （ 29） 可得 IIR 數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)： 7 ????????? NkkkMkkkzazbzXzYzH101)()()( （ 210） IIR 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu) 無限長(zhǎng)單位取樣響應(yīng) IIR 系統(tǒng)的主要特點(diǎn)是： 單位取樣響應(yīng)無限長(zhǎng)，即 h(n)， ?????? n ； 系統(tǒng)函數(shù) H(z)在有限平面 z 上有極點(diǎn)存在； 結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋網(wǎng)絡(luò)，即結(jié)構(gòu)是遞歸的。 級(jí)聯(lián)型：此形式中，把系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)因式分解成二階子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)叫做二階環(huán)節(jié)，因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示成這些二階環(huán)節(jié)的乘積形式。 以下對(duì)這三種主要結(jié)構(gòu)做具體介紹。由于這部分是對(duì)輸出的延時(shí)，故為反饋網(wǎng)絡(luò)，這部分網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)。因此，圖 23 可以解釋為兩個(gè)系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)組成。因而在軟件實(shí)現(xiàn)時(shí)可以節(jié)省存儲(chǔ)單元。 運(yùn)算的累積誤差大。而二階因式表示共軛零點(diǎn) kh 和 ?kh ，以及共軛極點(diǎn) kd 和 ?kd 。由于 H(z)的系數(shù)均為實(shí)數(shù)，因此零、極點(diǎn)只有兩種可能，可能為實(shí)數(shù)，或者為復(fù)共軛對(duì)。從前面對(duì)直接形式的討論知道，如果每個(gè)二階子系統(tǒng)用直接 Ⅱ 型實(shí)現(xiàn)，就可以得到使用存儲(chǔ)最少的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)。 并聯(lián)型 作為系統(tǒng)函數(shù)的另外一種表示形式，可以將 H(z)表示成如下形式的部分分式進(jìn)行展開： ??? ? ?? ?? ?? ? ?? ????? 210 1 1*1 10 10 )1)(1( )1(1)( NkkkkkNk kkNkkk zpzp zeBzdAzGzH （ 214） 11 由于在 式 (210)中的 H(z)系數(shù)為實(shí)數(shù)，因此，此式中各系數(shù)均為實(shí)數(shù)。并聯(lián)結(jié)構(gòu)的靈敏度優(yōu)于直接型，運(yùn)算累積誤差比級(jí)聯(lián)型小 [7]。 用脈沖相應(yīng)不變法設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器 利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器的 特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時(shí)，即： 0)( ??? jH a 2sT???? ? (33) 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻 率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即： )(1)( TjHTeH aj ??? ??? (34) 但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖 32所示。 14 圖 32 脈沖響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 對(duì)某一模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) ha(t)進(jìn)行采樣，采樣頻率為 fs，若使 fs 增加，即令采樣時(shí)間間隔（ T=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)各周期延拓分量之間相距更遠(yuǎn)，因而可減小頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器 (例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器 )，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。也就是說，第一步先將整個(gè) S 平面壓縮映射到 S1 平面的 π/T～ π/T 一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系 z=es1T 將此橫帶變換到整個(gè) Z平面上去。將式（ 35）寫成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj ????????? 將此關(guān)系解析延拓到整個(gè) S 平面和 S1 平面，令 sj ?? ， 11 sj ?? ，則得 TsTsTsTsTsTseeTTsTee eeTs 111111112)2t a n(22 12/2/2/2/????????????? 再將 S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 Tsez 1? 從而得到 S平面和 Z平面的單值映射關(guān)系為： 11112??????zzTs （ 36） sTsTsTsTz?????? 222121 （ 37） 式（ 36）與式（ 37）是 S 平面與 Z 平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個(gè)16 線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。也就是說， S 平面的左半平面映射到 Z平面的單位圓內(nèi)， S 平面的右半平面映射到 Z平面的單位圓外， S 平面的虛軸映射到 Z平面的單位圓上。 S 平面整個(gè) jΩ軸單值地對(duì)應(yīng)于 Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系?？梢越柚谀M濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)一個(gè)所需類型的過度模擬濾波器，再通過雙線性變換將其轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。返回長(zhǎng)度為 N 的列向量Ｚ和Ｐ，分別給出Ｎ個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，ｋ表示濾波器增益。 Wp、ws 和 wc 是實(shí)際模擬角頻率（ rad/s） . 4） [B, A]=buttord(N, wc, ?ftype?) 計(jì)算 N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量 B 和 A。 Ftype=stop 是，設(shè)計(jì) 3dB 截止頻率為 wc 的高通濾波器。 程序： wp=2*pi*5000。 %設(shè)置濾波器參數(shù) [N, wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,?s?)。wk=2*pi*fk。grid on Xlabel(?頻率 (kHz)?)。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。 程序見附錄 II 中 2. 高通濾波器程序，其幅頻相頻特性圖如圖 44 所示： 22 圖 44 數(shù)字高通濾波器幅頻相頻特性曲線圖 3. 設(shè)計(jì)一個(gè)帶通濾波器，采樣頻率 Fs=1000Hz， fpl=110Hz, fpu=190Hz, fsl=100Hz, fsu=200Hz, rp=3dB, rs=15dB。相比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)要更加簡(jiǎn)便、快捷，大大提高了工作效率。脈沖響應(yīng)不變法最主要的缺點(diǎn)是由于頻譜的周期延拓而產(chǎn)生的混疊失真。這里有治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)而又親切的老師，有互相幫助的同學(xué)，更有積極、向上、融洽的學(xué)習(xí)生活氛圍。 首先感謝指導(dǎo)老師邵霞老師。此外，您的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)態(tài)度和忘我的工作精神值得我去學(xué)習(xí)。 同時(shí)，感謝四年來傳授我知識(shí)的老師們，更要感謝我的家人及朋友對(duì)我學(xué)業(yè)上的支持和鼓勵(lì)，感謝所有關(guān)心、幫助過我的人。 32 參考文獻(xiàn) [1] 鄒理和 .數(shù)字濾波器 [M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社， 1979 [2] 姜建國(guó) ,曹建中 ,高玉明 .信號(hào)與系統(tǒng)分析基礎(chǔ) [M].北京：清華大學(xué)出版社， 1994 [3] 高西 ,丁玉美 .數(shù)字信號(hào)處理 [M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社， 2021 [4] 陳永春 .MATLAB 語言高級(jí)編程 [M].北京：清華大學(xué)出版社， 2021 [5] 鄭君里 .信號(hào)與系統(tǒng)（下） [M].北京 :高等教育出版社， 2021 [6] 飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心 .MATLAB7 輔助信號(hào)處理技術(shù)與應(yīng)用 [M].北京 :電子工業(yè)出版社，2021 [7] 鄒鯤 ,袁俊泉、享銥 . 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