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高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-3第1章《計(jì)數(shù)原理》(1-2-2)-全文預(yù)覽

  

【正文】 解法,因此需做一定量的排列應(yīng)用題,逐漸掌握解決問(wèn)題的基本思想. 【變式 3 】 某 校為慶祝 2020 年國(guó)慶節(jié),安排了一場(chǎng)文藝演出,其中有 3 個(gè)舞蹈節(jié)目和 4 個(gè)小品節(jié)目,按下面要求安排節(jié)目單,有多少種方法? ( 1) 3 個(gè)舞蹈節(jié)目互不相鄰. ( 2) 3 個(gè)舞蹈節(jié)目和 4 個(gè)小品節(jié)目彼此相間. 解 ( 1) 先安排 4 個(gè)小品節(jié)目 ,有 A44種排法, 4 個(gè)小品節(jié)目之間和兩頭共 5 個(gè)空,將 3 個(gè)舞蹈節(jié)目插入這 5 個(gè)空中,共有 A35種排法,所以共有 A44A33= 4 3 20( 種 ) 不同的排法. ( 2) ( 插空法 ) 要保證女生全分開(kāi),可先把 5 名男生排好,每 2 名相鄰的男生之間留出 1 個(gè)空檔,這樣共有 4 個(gè)空檔,加上 2 名男生外側(cè)的 2 個(gè)位置,共有 6 個(gè)位置,再把 3 名女生插入這 6 個(gè)位置中,只要保證每個(gè)位置至多插入 1 名女生,就能保證任意 2 名女生都不相鄰,由于 5 名男生排成一排有 A55種不同排法,對(duì)于其中任意一種排法,從上述 6 個(gè)位置中選出 3 個(gè)來(lái)讓 3 名女生插入都有 A36種方法,因此共有 A55A36= 14 400( 種 ) 不同的排法. (3) 法一 ( 位置分析法 ) :因?yàn)閮啥瞬荒芘排?,所以?xún)啥酥荒芴暨x 5 名男生中的 2 個(gè),有 A25種不同排法,對(duì)于其中的任意一種排法,其余 6 名都有 A66種排法,所以共有 A25A66= 14 400( 種 ) 不同的排法. 法二 ( 元素分析法 ) :從中間 6 個(gè)位置中挑選出 3 個(gè)來(lái)讓 3 名女生排入,有 A36種不同的排法,對(duì)于其中的任意一種排法,其余 5 個(gè)位置又都有 A55種不同的排法,所以共有 A36A55= 14 400( 種 ) 不同的排法. 法三 ( 間接法 ) : 3 名女生和 5 名男生排成一排共有 A88 種不同的排法,從中扣除女生排在首位的 A13 A77 種排法和女生排在末位的 A13 A77種排法,但這樣兩端都是女生的排法被多扣除一次,所以還需要加回來(lái)一次,由于兩端都是女生有 A23 A66 種不同的排法,所以共有A88 - 2A13 A77 + A23 A66 = 14 400( 種 ) 不同的排法. (4) 法一 該問(wèn)題可分為兩類(lèi): 第一類(lèi):當(dāng)首位是男生時(shí),則滿(mǎn)足條件的有 A15A77種不同的排法; 第二類(lèi):當(dāng)首位是女生時(shí),則滿(mǎn)足條件的有 A13A15A66種不同的排法.利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有 A15A77+ A13A15A66= 36 000( 種 )不同的排法. 法二 因?yàn)楫?dāng)兩端都是女生時(shí),共有 A23A66種不同的排法,又因?yàn)? 個(gè)女生和 5 名男生排成一排共有 A88種不同的排法,所以利用間接法可得共有 A88- A23A66= 36 000( 種 ) 不同的排法. 。A33= 144( 種 ) 排法. 法二 先安排 3 個(gè)舞蹈節(jié)目在 2,4,6 位,有 A33種排法;再安排 4 個(gè)小品節(jié)目在 1,3,5,7 位,共有 A44種排法;故共有 A33A55= 5 760( 種 ) . (4) 插空法 先排 4
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