期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型-全文預(yù)覽
【正文】 則 ? ?022022221e xp22212xTyxTxT Tdxe e dx??? ????? ????????????????? ?? ?2201Te N x T??? ? ?2023/3/8 55 所以積分式的第二項(xiàng)等于 ? ?? ?00rTS e N x T???? ?? ? ? ?? ? ? ?0 0 00 1 2rTrTV S N x T Xe N xS N d Xe N d? ??? ? ? ? ???將上述第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的結(jié)果代入，得 NoImag e201202ln2ln2SrTXdTSrTXdT????? ????????????? ???????????????????? ?????2023/3/8 56 其中 ? 金融產(chǎn)品今天的價(jià)值，應(yīng)該等于未來收入的貼現(xiàn)： 其中，由于風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)， E是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值。也就是說，我們在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中得到的期權(quán)結(jié)論，適合于現(xiàn)實(shí)世界。 ? 由此我們可以利用 BS公式得到的結(jié)論，作出一個(gè)可以大大簡化我們的工作的風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)：在對衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。 BlackScholes方程的結(jié)果認(rèn)為，由于在方程中消掉了漂移項(xiàng) ，而漂移項(xiàng)代表人們對證券價(jià)格未來變化的預(yù)期，也即證券的風(fēng)險(xiǎn)期望收益率。 ??和3月 20日 3月 21日 3月 22日 3月 23日 2023/3/8 32 假設(shè)： ? 證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動，即 μ和 σ為常數(shù)； ? 允許賣空； ? 沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付； ? 不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會； ? 證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動也是連續(xù)的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率 r為常數(shù)。 方程（ 51）是一個(gè) SDE，一般 SDE沒有簡潔的封閉形式的解。為了使得 的總方差獨(dú)立于 ，需要對常量 隨 進(jìn)行調(diào)整。 2 /20kcWk t k ckS e e e S? ???則 （ 56） 21 /210cWtcS e e e S? ???1S2023/3/8 15 特別注意： 模型（ 56）盡管也是一種離散模型， 但比二叉樹模型具有更豐富的意義。 然而，股價(jià)并不具有公式（ 52）所示的可預(yù)測性和確定性。 其中： 1826年英國植物學(xué)家布朗（ 17731858）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時(shí)發(fā)現(xiàn)的。薩繆爾森在 1965年首次提出： t t t tdS S dt S dB????（ 51） tS??tB—— 股票在 時(shí)刻的價(jià)格 —— 常量 —— 服從布朗運(yùn)動。 2023/3/8 6 上式是下列微分方程的解： dS Sdt ?? 0() TS T e S??（ 52） 1 ~ ( 0 ,1)ZNc2023/3/8 7 在式（ 51）中，如果令 0? ?即可得到上述微分方程，這是一個(gè)確定性的公式。 對 進(jìn)行重新定義： 為什么？ 2e xp ( / 2) 1E c Z c??????2023/3/8 12 ? ?10tS e S? ??于是 22ccZE e e?隨機(jī)變量 Z 的一個(gè)重要等式 （ 55） 第二個(gè)因素表示的隨機(jī)變量的漂移率為零 2023/3/8 13 1kkiiWZ?? ? ? ?~ 0 ,kW N k若令： 則： ? ?, , ~ 0 ,1 , 1 , 2 , ,iiZ ii d Z N i k?且因?yàn)椋? 21/20kiic Z k cktkS e e S? ??? ??進(jìn)一步 2023/3/8 14 0S kte? ?kcW 2 /2kce?式（ 56）的分析： 股票的初始價(jià)格； 漂移因子（復(fù)利因子）； 隨機(jī)因子； 修正因子。 應(yīng)該注意到：隨著 的增加， 的方差 會增加。 方程（ 51）的解（ 幾何布朗運(yùn)動 ） 式（ 58）與具有連續(xù)時(shí)間變量 T的離散模型（ 57）相同。 習(xí)題： 以下是包鋼股票 2023年 3月 20日到 2023年 3月 23日半小時(shí)價(jià)，請以天為時(shí)間單位計(jì)算 。 2023/3/8 36 BlackScholes定價(jià)系統(tǒng)在完全市場中得到期權(quán)價(jià)格與漂移率無關(guān)，被稱為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法，無套利是這種定價(jià)的基本假設(shè)。而受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。 ? 盡管風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了求解布萊克 —— 舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但 BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。 S?2023/3/8 44 ?S~?S采用股價(jià)模型 代替真正股價(jià) ，方差保持不變 ，且滿足下式 0re E S??? ??? ?? ? ??? ??? ? Ee r0于是對于任何用來復(fù)制的投資組合，存在下式 現(xiàn)在的問題是，是否存在這樣的 ？ 2023/3/8 45 如果令 ??? ? mBeSS ?? 0~ （ 515） 于是 ? ?000rBmrS e E SS e E S e ????????????????2023/3/8 46 ? ?() 1B m rEe ????? ?2 /2mr ?? ? ?即 為什么？ ? ?????? 2/02~ ??? rBeSS因此，修正的股價(jià)模型為： （ 516） 2023/3/8 47 修正模型看上去與 GBM模型非常接近，但其與股價(jià)模型是完全不同的模型，因?yàn)樵撃Ｐ椭泄蓛r(jià)的增長率被人為設(shè)低了。 ? 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式 2023/3/8 58 21221l n( / ) ( / 2) ( )l n( / ) ( / 2) ( )S X r T tdTtS X r T td d T tTt?????? ? ???? ? ?? ? ? ??()12( ) ( )r T tc SN d X e N d???? 首先， N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中 ST大于 X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率， er(Tt)XN(d2)是 X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權(quán)可以分拆成資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)（ Assetornoting call option）多頭和現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)（ cashornothing option）空頭， SN(d1)是資產(chǎn)或無價(jià)值看漲期權(quán)的價(jià)值， er(Tt)XN(d2)是 X份現(xiàn)金或無價(jià)值看漲期權(quán)空頭的價(jià)值。 附：期權(quán)的簡單特征 ? ? ? ? ? ? ? ?r T teecpY t qe Y t S t??? ? ?2023/3/8 73 命題 6:若在 [0,T ]上，相應(yīng)的股票無紅利配發(fā)，則歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格滿足： 習(xí)題 :若看漲和看跌期權(quán)的行權(quán)價(jià)不同，則這一關(guān)系該如何表達(dá)？ 附：期權(quán)的簡單特征 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r T taacpS t q Y t Y t S t qe ??? ? ? ? ?2023/3/8 74 命題 7
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