【正文】 則 ? ?022022221e xp22212xTyxTxT Tdxe e dx??? ????? ????????????????? ?? ?2201Te N x T??? ? ?2023/3/8 55 所以積分式的第二項等于 ? ?? ?00rTS e N x T???? ?? ? ? ?? ? ? ?0 0 00 1 2rTrTV S N x T Xe N xS N d Xe N d? ??? ? ? ? ???將上述第一項和第二項的結果代入，得 NoImag e201202ln2ln2SrTXdTSrTXdT????? ????????????? ???????????????????? ?????2023/3/8 56 其中 ? 金融產(chǎn)品今天的價值，應該等于未來收入的貼現(xiàn)： 其中，由于風險中性定價， E是風險中性世界中的期望值。也就是說，我們在風險中性世界中得到的期權結論，適合于現(xiàn)實世界。 ? 由此我們可以利用 BS公式得到的結論，作出一個可以大大簡化我們的工作的風險中性假設：在對衍生證券定價時，所有投資者都是風險中性的。 BlackScholes方程的結果認為，由于在方程中消掉了漂移項 ，而漂移項代表人們對證券價格未來變化的預期，也即證券的風險期望收益率。 ??和3月 20日 3月 21日 3月 22日 3月 23日 2023/3/8 32 假設： ? 證券價格遵循幾何布朗運動，即 μ和 σ為常數(shù)； ? 允許賣空； ? 沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)標的證券沒有現(xiàn)金收益支付； ? 不存在無風險套利機會； ? 證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的； ? 在衍生證券有效期內(nèi)，無風險利率 r為常數(shù)。 方程（ 51）是一個 SDE，一般 SDE沒有簡潔的封閉形式的解。為了使得 的總方差獨立于 ，需要對常量 隨 進行調(diào)整。 2 /20kcWk t k ckS e e e S? ???則 （ 56） 21 /210cWtcS e e e S? ???1S2023/3/8 15 特別注意： 模型（ 56）盡管也是一種離散模型， 但比二叉樹模型具有更豐富的意義。 然而，股價并不具有公式（ 52）所示的可預測性和確定性。 其中： 1826年英國植物學家布朗（ 17731858）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時發(fā)現(xiàn)的。薩繆爾森在 1965年首次提出： t t t tdS S dt S dB????（ 51） tS??tB—— 股票在 時刻的價格 —— 常量 —— 服從布朗運動。 2023/3/8 6 上式是下列微分方程的解： dS Sdt ?? 0() TS T e S??（ 52） 1 ~ ( 0 ,1)ZNc2023/3/8 7 在式（ 51）中，如果令 0? ?即可得到上述微分方程，這是一個確定性的公式。 對 進行重新定義： 為什么？ 2e xp ( / 2) 1E c Z c??????2023/3/8 12 ? ?10tS e S? ??于是 22ccZE e e?隨機變量 Z 的一個重要等式 （ 55） 第二個因素表示的隨機變量的漂移率為零 2023/3/8 13 1kkiiWZ?? ? ? ?~ 0 ,kW N k若令： 則： ? ?, , ~ 0 ,1 , 1 , 2 , ,iiZ ii d Z N i k?且因為： 21/20kiic Z k cktkS e e S? ??? ??進一步 2023/3/8 14 0S kte? ?kcW 2 /2kce?式（ 56）的分析： 股票的初始價格； 漂移因子（復利因子）； 隨機因子； 修正因子。 應該注意到：隨著 的增加， 的方差 會增加。 方程（ 51）的解（ 幾何布朗運動 ） 式（ 58）與具有連續(xù)時間變量 T的離散模型（ 57）相同。 習題： 以下是包鋼股票 2023年 3月 20日到 2023年 3月 23日半小時價，請以天為時間單位計算 。 2023/3/8 36 BlackScholes定價系統(tǒng)在完全市場中得到期權價格與漂移率無關，被稱為風險中性定價方法，無套利是這種定價的基本假設。而受制于主觀的風險收益偏好的標的證券預期收益率并未包括在衍生證券的價值決定公式中。 ? 盡管風險中性假定僅僅是為了求解布萊克 —— 舒爾斯微分方程而作出的人為假定，但 BS發(fā)現(xiàn)，通過這種假定所獲得的結論不僅適用于投資者風險中性情況，也適用于投資者厭惡風險的所有情況。 S?2023/3/8 44 ?S~?S采用股價模型 代替真正股價 ，方差保持不變 ，且滿足下式 0re E S??? ??? ?? ? ??? ??? ? Ee r0于是對于任何用來復制的投資組合，存在下式 現(xiàn)在的問題是，是否存在這樣的 ？ 2023/3/8 45 如果令 ??? ? mBeSS ?? 0~ （ 515） 于是 ? ?000rBmrS e E SS e E S e ????????????????2023/3/8 46 ? ?() 1B m rEe ????? ?2 /2mr ?? ? ?即 為什么？ ? ?????? 2/02~ ??? rBeSS因此，修正的股價模型為： （ 516） 2023/3/8 47 修正模型看上去與 GBM模型非常接近，但其與股價模型是完全不同的模型，因為該模型中股價的增長率被人為設低了。 ? 這就是無收益資產(chǎn)歐式看漲期權的定價公式 2023/3/8 58 21221l n( / ) ( / 2) ( )l n( / ) ( / 2) ( )S X r T tdTtS X r T td d T tTt?????? ? ???? ? ?? ? ? ??()12( ) ( )r T tc SN d X e N d???? 首先， N(d2)是在風險中性世界中 ST大于 X的概率，或者說是歐式看漲期權被執(zhí)行的概率， er(Tt)XN(d2)是 X的風險中性期望值的現(xiàn)值。 最后，從金融工程的角度來看，歐式看漲期權可以分拆成資產(chǎn)或無價值看漲期權（ Assetornoting call option）多頭和現(xiàn)金或無價值看漲期權（ cashornothing option）空頭， SN(d1)是資產(chǎn)或無價值看漲期權的價值， er(Tt)XN(d2)是 X份現(xiàn)金或無價值看漲期權空頭的價值。 附：期權的簡單特征 ? ? ? ? ? ? ? ?r T teecpY t qe Y t S t??? ? ?2023/3/8 73 命題 6:若在 [0,T ]上，相應的股票無紅利配發(fā)，則歐式看漲和看跌期權的價格滿足： 習題 :若看漲和看跌期權的行權價不同，則這一關系該如何表達？ 附：期權的簡單特征 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r T taacpS t q Y t Y t S t qe ??? ? ? ? ?2023/3/8 74 命題 7