【正文】 ? ； （ 3）對(duì)于指數(shù)函數(shù) )1a0a(a)x(f x ??? 且，總有 a)1(f ? ； 二、對(duì)數(shù)函數(shù) （一）對(duì)數(shù) 1．對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果 Nax? )1,0( ?? aa ，那么數(shù) x 叫做以 a 為底 N 的對(duì)數(shù)，記作： Nx alog? （ a — 底數(shù)， N — 真數(shù)， Nalog — 對(duì)數(shù)式） 說(shuō)明： ○ 1 注意底數(shù)的限制 0?a ，且 1?a ； ○ 2 xNNa ax ??? log ； ○ 3 注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式 ． 兩個(gè)重要對(duì)數(shù)： ○ 1 常用對(duì)數(shù)：以 10 為底的對(duì)數(shù) Nlg ； ○ 2 自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù) ??e 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) Nln ． ? 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化 冪值 真數(shù) ba ＝ N? logaN ＝ b 底數(shù) 指數(shù) 對(duì)數(shù) （二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 如果 0?a ，且 1?a ， 0?M ， 0?N ，那么： ○ 1 Ma(log 高中數(shù)學(xué)必修 1 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第一章 集合與函數(shù)概念 【 】集合的含義與表示 （ 1）集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性 . （ 2）常用數(shù)集及其記法 N 表示自然數(shù)集， N ? 或 N? 表示正整數(shù)集， Z 表示整數(shù)集， Q 表示有理數(shù)集， R 表示實(shí)數(shù)集 . （ 3）集合與元素間的關(guān)系 對(duì)象 a 與集合 M 的關(guān)系是 aM? ，或者 aM? ，兩者必居其一 . （ 4）集合的表示法 ①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合 . ②列舉法： x 把集合中的元素一一列舉出 來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合 . ③描述法： {x |x 具有的性質(zhì) }，其中為集合的代表元素 . ④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合 . （ 5）集合的分類 ①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集 .②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集 .③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【 】集合間的基本關(guān)系 （ 6）子集、真子集、集合相等 名稱 記號(hào) 意義 性質(zhì) 示意圖 子集 BA? （或)AB? A 中的任一元素都屬于 B (1)A? A (2) A?? (3)若 BA? 且 BC? ，則 AC? (4)若 BA? 且 BA? ，則 AB? A(B)或B A 真子集 A??B （或 B??A） BA? ，且 B 中至少有一元素不屬于A （ 1） A???（ A 為非空子集） (2)若 AB??且 BC??，則 AC?? B A 集合 相等 AB? A 中的任一元素都屬于 B， B 中的任一元素都屬于 A (1)A? B (2)B? A A(B) （ 7）已知集合 A 有 ( 1)nn? 個(gè)元素，則 它 有 2n 個(gè) 子集，它有 21n? 個(gè) 真子集，它有 21n? 個(gè)非空 子集，它有 22n? 非空真 子集 . 【 】集合的基本運(yùn)算 （ 8） 交集、并集、補(bǔ)集 名稱 記號(hào) 意義 性質(zhì) 示意圖 交集 AB { | ,x x A? 且}xB? （ 1） A A A? （ 2） A ??? （ 3） A B A? A B B? BA 并集 AB { | ,x x A? 或}xB? （ 1） A A A? （ 2） AA?? （ 3） A B A? A B B? BA 補(bǔ)集 ACU { | , }x x U x A??且 )()()()()()(BCACBACBCACBACUACAACAUUUUUUUU??????????? 【補(bǔ)充知識(shí)】 含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法 （ 1）含絕對(duì)值的不等式的解法 不等式 解集 | | ( 0)x a a?? { | }x a x a? ? ? | | ( 0)x a a?? |x x a?? 或 }xa? | | , | | ( 0 )a x b c a x b c c? ? ? ? ? 把 ax b? 看成一個(gè)整體，化成 ||xa? ，| | ( 0)x a a??型不等式來(lái)求解 （ 2）一元二次不等式的解法 判別式 2 4b ac?? ? 0?? 0?? 0?? 二次函數(shù)2 ( 0 )y ax bx c a? ? ? ?的圖象 O 一元二次方程2 0 ( 0 )ax bx c a? ? ? ?的根 21,2 42b b acx a? ? ??（其中 12)xx? 12 2bxx a? ?? 無(wú)實(shí)根 2 0 ( 0 )ax bx c a? ? ? ?的解集 1{|x x x? 或 2}xx? {|x }2bx a?? R 2 0 ( 0 )ax bx c a? ? ? ?的解集 12{ | }x x x x?? ? ? 〖 〗函數(shù)及其表示 【 】函數(shù)的概念 （ 1） 函數(shù) 的概念 ①設(shè) A 、 B 是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則 f ，對(duì)于集合 A 中任何一個(gè)數(shù) x ，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) ()fx和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合 A ， B 以 及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則 f ）叫做集合 A 到 B 的一個(gè)函數(shù)，記作 :f A B? ． ②函數(shù)的三要素 :定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則 ． ③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù) ． （ 2）區(qū)間的概念及表示法 ①設(shè) ,ab是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 ab? ，滿足 a x b?? 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做閉 區(qū)間，記做 [, ]ab ；滿足 a x b?? 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做開(kāi) 區(qū)間，記做 (, )ab ；滿足 a x b?? ，或 a x b?? 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做半開(kāi)半 閉 區(qū)間，分別記做 [, )ab ， (, ]ab ；滿足 , , ,x a x a x b x b? ? ? ?的實(shí)數(shù) x 的集合分別記做 [ , ) , ( , ) , ( , ] , ( , )a a b b? ? ? ? ? ? ? ?． 注意： 對(duì)于集合 { | }x a x b?? 與區(qū)間 (, )ab ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必須 ab? ． （ 3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則： ① ()fx是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù) ． ② ()fx是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù) ． ③ ()fx是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合 ． ④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于 1． ⑤ tanyx? 中， ()2x k k Z??? ? ?． ⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零 ． ⑦若 ()fx是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集 ． ⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般 步驟是：若已知 ()fx的定義域?yàn)?[, ]ab ，其復(fù)合函數(shù) [ ( )]f gx 的定義域應(yīng)由不等式 ()a g x b??解出 ． ⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論 ． ⑩由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義 ． （ 4）求 函數(shù)的值域或最值 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實(shí)上 ，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最?。ù螅?shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同．求函數(shù) 值域與 最值的常用方法： ①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到 值域或最值 ． ②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值． ③判別式法：若函數(shù) ()y f x? 可以化成一個(gè)系數(shù)含有 y 的關(guān)于 x 的二次方程 2( ) ( ) ( ) 0a y x b y x c y? ? ?，則在( ) 0ay? 時(shí)，由于 ,xy為實(shí)數(shù)，故必須有 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0b y a y c y? ? ? ? ?，從而確定函數(shù)的值域或最值 ． ④ 不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值 ． ⑤換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題． ⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值 域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值． ⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值． ⑧函數(shù)的單調(diào)性法． 【 】函數(shù)的表示法 （ 5）函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 ． 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ． 列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ． 圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ． （ 6）映射的概念 ①設(shè) A 、 B 是 兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則 f ，對(duì)于集合 A 中任何一個(gè)元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則 f ）叫做集合 A 到 B 的映射，記作:f A B? ． ②給定一個(gè)集合 A 到集合 B 的映射，且 ,a Ab B??．如果元素 a 和元素 b 對(duì)應(yīng)，那么我們把元素 b 叫做元素 a的象，元素 a 叫做元素 b 的原象． 〖 〗函數(shù)的基本性質(zhì) 【 】單調(diào)性與最大（?。┲? （ 1）函數(shù)的單調(diào)性 ①定義及 判定方法 函數(shù)的 性 質(zhì) 定義 圖象 判定方法 函數(shù)的 單調(diào)性 如果對(duì)于屬于定義域 I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x x2,當(dāng) x1 x2 時(shí) ， 都 有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是 增函數(shù) ． x 1 x 2y= f(X )xyf( x )1f( x )2o （ 1）利用定義 （ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性 （ 3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè) 區(qū)間 圖 象上升為增） （ 4）利用 復(fù)合函數(shù) 如果對(duì)于屬于定義域 I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值 x x2，當(dāng)x1 x2 時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是 減函數(shù) ． y= f(X )yxo x x 2f( x )f( x )211 （ 1）利用定義 （ 2）利用已知函數(shù)的單調(diào)性 （ 3）利用函數(shù)圖象（在某個(gè) 區(qū)間 圖 象下降為減） （ 4）利用 復(fù)合函數(shù) ②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)， 兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù)． ③對(duì)于復(fù)合函數(shù) [ ( )]y f g x? ，令 ()u gx? ，若 ()y f u? 為增， ()u gx? 為增，則 [ ( )]y f g x? 為增；若 ()y f u?為減， ()u gx? 為減，則 [ ( )]y f g x? 為增；若 ()y f u? 為增， ()u gx? 為減，則 [ ( )]y f g x? 為減；若 ()y f u?為減， ()u gx? 為增，則 [ ( )]y f g x? 為減． （ 2）打“ √”函數(shù) ( ) ( 0)af x x ax? ? ?的圖像與性質(zhì) ()fx分別在 ( , ]a??? 、 [ , )a?? 上為增函數(shù)，分別在 [ ,0)a? 、(0, ]a 上為減函數(shù) ． （ 3）最大（小）值定義 ① 一般地，設(shè)函數(shù) ()y f x? 的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù) M 滿足：（ 1）對(duì)于任意的 xI? ，都有 ()f x M? ； （ 2）存在 0xI? ，使得 0()f x M? ．那么，我們稱 M 是函數(shù) ()fx 的最大值，記作 max()f x M? ． ②一般地，設(shè)函數(shù) ()y f x? 的定義域?yàn)?I ，如果存在實(shí)數(shù) m 滿足：（ 1）對(duì)于任意的 xI? ，都有 ()f x m? ；（ 2）存在 0xI? ，使得 0()f x m? ．那么，我們稱 m 是函數(shù) ()fx的最小值，記作 max()f x m? ． 【 】奇偶性 （ 4）函數(shù)的奇偶性 ①定義及 判定方法 函數(shù)的 性 質(zhì) 定義 圖象 判定方法 函數(shù)的 奇偶性 如果對(duì)于函數(shù) f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有f(－ x)=－ f(x),那么函數(shù)f(x)叫做 奇函數(shù) ． （ 1）利用定義（要先判斷 定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱） （ 2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱） y