【正文】 ⑴ qpnm aaaaqpnm ?????? ，則若 反之，不成立。 為常數(shù)）即：特征： mkmknnfa dadnan n ,(,)( ),( 1??? ??? ), 為常數(shù)，（ mkmkna n ?? 是數(shù)列 ??na 成等差數(shù)列的充要條件。 ??na 滿足 ,11?a )2(,3 11 ??? ?? naa nnn ， ⑴ 32 aa和求 ⑵ 證明： 2 13 ?? nna 解： (1)∵ ,11?a ∴ 43 12 ??? aa 133 223 ??? aa . ⑵ 證明：由已知 11 3 ?? ?? nnn aa 有 112211 aaa aaaaa nnnnn ??? ????? ???）（ ）（）（ ? 2 131333 21 ??????? ?? nnn ? ??na 中， nn na ）（）（ 1092 ???試問 n 取何值時， na 取最大 值？并求此最大值 ． 解：因為2310910921093 11???????????nnnnaannnn）（）（）（）（ 當且僅當 7?n 時，781 aaaa nn ??? １，即 所以當 7?n 時 ＞１nnaa 1? ，即 nn aa ??1 即 1567 aaaa ???? ? 當 8?n 時， 11 ??nnaa 1?? nn aa 即 ???? 1098 aaa 故當 7?n 或 8 時， na 最大， 7887m a x 109)( ??? aaa n 課外練習 一、選擇題 １ .數(shù)列 3， 5， 7， 9， 11，?的一個通項公式是（ D ） )12()1()12()1()12()1()12()1(11??????????????????naDnaCnaBnaAnnnnnnnn．．．． ２ .已知數(shù)列 ??na 中 21?a ， ），（ ????? Nnaa nn 131 則 4a 的值為（ A ） A． 67 B． 22 C． 202 D． 201 3 設(shè) 12 12111 ??????? nnnan ?， ( ??Nn )，則 nn aa 與1? 的大小關(guān)系是 ( C ) A． nn aa ??1 B． nn aa ??1 C． nn aa ??1 D．不能確定 解：因為 022 132 1113212211?????????????nnnnnaa nn 所以 nn aa ??1 ，選Ｃ． 1． 若數(shù)列 ??na 滿足：????????????)121(,12)210(,21nnnnn aaaaa ， 761?a ，則 20a 的值為（ Ｂ ） 解：????????????)121(,12)210(,21nnnnn aaaaa ， ???????? ，１21711a ?????????? 1217512 12 ，aa ?，，7512121762210731453423?????????????????????aaaa 由此猜想： nn aa ??3 所以 75226320 ??? ?? aaa，選Ｂ 二、填空題 5．已知數(shù)列 ??na 的前 n 項和 ，142 ??? nnSn 則??? ?? ??? )2(,52 )1(,2 nn na n 6．已知數(shù)列 ??na 中， 32 21 ?? aa ， ， nnn aaa 23 12 ?? ?? , ?7 65 解 : 653216842132)(216)(28)(24)(22)(21)(27175667455634452334122312112???????????????????????????????????????aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnn 7．已知數(shù)列 ??na 的通項9998??nn（ ??Nn ），則數(shù)列 ??na 的前 30 項中最大項和最小項分別是 910 aa， 解：構(gòu)造函數(shù)99989919998 ? ?????? xxxy 由函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)在 )99( ，?? 上遞減， 且 1?y 函數(shù)在 ），＋ ?99( 上遞增且 1?y 最小最大，），又91092130121110 1109(99aaaaaaaaa??????????????三、解答題 8．已知 ??na 中， 311?a，前 n 項和 nS 與 na 的關(guān)系是 nn annS )12( ?? ，求 na 解：由 nn annS )12( ?? 得 141)12)(12(1315173953272125212323212)12()32()12()12)(1()12)(1(211232211112111111?????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnaaaaaaaaannaaannannannannaSSaannSnnnnnnnnnnnnnnnnnnn?? 9．在數(shù)列 ??na 中，11121 ???? nnn aaa ，（ ??Nn ） nS 為前 n 項和 .⑴ 求證： ??na 是以 3 為周期的周期函數(shù) ⑵ 求 2020S nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa?????????????????????????11)1(111111111111111111123 2121 321 ???? aaa ， 10 0567 0 3212020202020202020202020206543212020?????????????????）（）（）（）（）（aaaaaaaaaaaaaaaS? 10．設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS ，點 )( nSn n， ， （ ??Nn ）均在函數(shù) 23 ?? xy 的圖像上， ⑴ 求數(shù)列 ??na 的通項公式 ⑵ 設(shè) ,31?? nnn aabnT 是數(shù)列 ??nb 的前 前 n 項和 ，求使得 20mTn? 對所有 ??Nn 都成立的最小正整數(shù) m 。 數(shù)學門診 已知 nS 是數(shù)列 ??na 的前 n 項和，且滿足 2122 3 ??? nnn SanS ， 其中 ?4,3,2,0 ?? nan ，又 21?a ，求數(shù)列 ??na 的通項公式。 四、數(shù)列通項 na 與前 n 項和 nS 的關(guān)系 1． ????????ni inn aaaaaS 1321 ? 2．??? ????? 2111 nSS nSannn 課前熱身 1．數(shù)列 1， 3， 6， 10，?的一個通項公式為 ( C ) Ａ． )1(2 ??? nnan B． 12 ??nan C． 2 )1( ?? nnan D． 2 )1( ?? nnan ?,55,34,21,8,5,3,2,1,1 x 中， x 的值為（ Ｄ ） A． 10 B． 11 C． 12 D． 13 3．數(shù)列 ??na 的通項公式為 nnan 283 2 ?? ,則數(shù)列各項中最小項是 ( B ) A．第４項 B．第５項 C．第６項 D．第７項 4．已知數(shù)列 ??na 是遞增數(shù)列，其通項公式為 nnan ??? 2 ,則實數(shù) ? 的取值范圍是 ),3( ??? 5．數(shù)列 ??na 的前 n 項和 142 ??? nnSn ,，則??? ?? ??? 252 12 nn na n 典例精析 題型一 歸納、猜想法求數(shù)列通項 【 例 1】 根據(jù)下列數(shù)列的前幾項，分別寫出它們的一個通項公式 ⑴ 7， 77， 777， 7777，? ⑵ ?,638,356,154,32 ?? ⑶ 1， 3， 3， 5， 5， 7， 7， 9， 9? 解析： ⑴ 將數(shù)列變形為 ),110(97 ?? ),110(97 2 ? )110(97 3 ?， ,? )110(97 ?n ⑵ 分開觀察，正負號由 1)1( ?? n 確定，分子是偶數(shù) 2n ，分母是 31? ， 53? ， 75? ， ,? )12()12( ??? nn ，故數(shù)列的通項公式可寫成)12)(12( 2)1( 1 ???? ? nn na nn ⑶ 將已知數(shù)列變?yōu)?1+0， 2+1， 3+0， 4+1， 5+0， 6+1， 7+0， 8+1， 9+0，?。 二、數(shù)列的表示方法 數(shù)列的表示方法有：列舉法、圖示法、解析法（用通項公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示）。 三、命題展望 數(shù)列任然會以客觀題考察等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式和前 n 項和公式及性質(zhì)，在解答題中，會保持以前的風格，理科注重數(shù)列與其它分支的綜合能力的考察，文科則注重數(shù)列內(nèi)部綜合能力考察，在高考中，數(shù)列?？汲Ｐ拢渲饕蚴撬鳛橐粋€特殊函數(shù)。 、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等求數(shù)列的前 n 項和。 3．理解等差數(shù)列的概念，會用其概念導出通項公式，了解等差中項的概念，能通過公式研究它的單調(diào)性。 2．了解遞推公式的意義，會根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前 幾 項，會求形如 cbaa nn ???1 型數(shù)列的通項公式。 6．會用錯位相減法推導等比數(shù)列前 n 項和公式（分清 q =1 和 q ≠ 1 的情形），并運用公式解決一些問題。 本章難點：對數(shù)列概念的理解，對公式理解和掌握對性質(zhì)的運用，求和方法的運用，求通項的方法的運用，以及思想方法的運用，是本章的難點。 3．數(shù)列可以看做定義域為 ?N （或其子集）的函數(shù)，當自變量由小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值，它的圖像是一群 孤立的點 。 3． 從函數(shù)角度考慮分：遞增數(shù)列、 遞減數(shù)列 、常數(shù)列、 擺動數(shù)列 。 三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項 【 例 3】 根據(jù)下列各個數(shù)列 ??na 的首項和遞推關(guān)系，求其通項公式 ⑴14 1,21 211 ???? ? naaa nn (2) ,0,11 ?? naa 0)1( 1221 ????? ?? nnnn aanaan ， ⑶ 121,111 ??? ? nn aaa 解析： ⑴ 因為14 121 ???? naa nn，所以 )12 112 1(2114 121 ???????? nnnaa nn 所以 )3111(2112 ??? aa )5131(2123 ??? aa 43 1 1 1()2 5 7aa? ? ? ?，?， 1 1 1 1()2 2 3 2 1nnaa nn?? ? ??? 以上 )1( ?n 個式相加得 )12 11(211 ???? naa n 即： 24 3424 11 ?????? nnnan ⑵ 0)1( 2121 ?????? ?? nnnn anaaan由 ? ? 0,0 0)()1(111 ???? ???????nnnnnnn aaa aanaan?有 1:0)1( 11 ?????? ?? n naanaan nnnn 即 1 2 11 2 1nnn aa aaaa a a???? ? ? ? 1 2 1 1112nnn n n??? ? ? ? ? ?? 1na n?? ⑶ 方法一 、 )(211 mama nn ????設(shè) 1 11,22nna a m?? ? ?又1 1 12nnaa? ?? 11 , 2 , 1nnm m a a?? ? ? ? ? ? ? ?令 于 是 可化為 111)21()2(