線性系統(tǒng)理論第一章3：齊次方程的解-全文預覽
【正文】 1 63 )AAx x B utttt e e d?? ? ?? t tt()0( ) ( 0) ( ) ( ) ( 1 64)AAy C x C B u D utttt e e d t?? ? ? ?? t tt動態(tài)方程（ 1— 60)的解為 00() 0 ( )( ) ( )A Ax x B uttt ttt e e d? ??? ? t tt00() 0 ( )( ) ( ) ( )A Ay C x C B u D uttt ttt e e d t? ?? ? ?? t tt()( ) ( )AG C B Dtt t e t?? ? ? ? ?tt t d t( , ) 0Gtt??tt（ 1— 60）式對應的脈沖響應矩陣 或更通常地寫為 （ 1— 60）式對應的傳遞函數(shù)陣 1( ) ( ) ( 1 6 6 )G C I A B Dss ?? ? ? ?( ) ( ) , 0 ( 1 6 5 )? ? ? ?AG C B Dtt e t t?G(s)是一個有理函數(shù)矩陣 補充： 關于矩陣指數(shù) teA1. 矩陣指數(shù)的定義和性質： 110122301)11 ) : [ ( ) ]!1 1 1()2) l im3 ) ( )4)5 ) 。 0000( , )( ) ( , )( , ) ( 1 52)ΦA ΦΦ I???d t tt t tdttt? ? 00( ) ,x Φ xt t t? （ 1－ 53） 由狀態(tài)轉移矩陣的概念 ， 可以立即得到齊次方程（ 1－ 50） 在初始條件 下的解為 00()xx?t 由 （ 1－ 51） 式可以證明 是下列矩陣微分方程的唯一解 ? ?0,Φ tt事實上， x(t)總可以表示為 ( ) ( ) 0x Ψ α , αtt??特別， 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )1x Ψ α α Ψ xt t t t? ? ?0()()tt ?=AEYYY 可看作一個線性變換 ， 它將 t0時的狀態(tài) x0映射到時刻 t 的狀態(tài) x(t)。 ( , )?? ??1( ) 0 ,niiia t t???? Y這與基本矩陣 (線形無關）的定義相矛盾。 根據(jù)定理 12，基本矩陣具有如下性質： 定理 1— 3 方程（ 1— 50）的基本矩陣對于 中的每一個 t 均為非奇異矩陣。 1212 nna a a? ? ? ?e e e eY 0()Y ? et 令 是方程（ 1— 50）滿足初條件 的任一解， e 顯然可唯一地用 的線性組合表示 : 12, , ,e e e n1()Yniiiat??容易驗證， 是方程（ 1— 50）滿足初值條件 011()Ynniiiiiia t a?????? ee的解。 12, , ,Y Y Y n是個 n個線性無關的向量， 12, , ,e e e n設 12[ ] 0Y Y Y an t?? 現(xiàn)在用反證法。稱 是微分方程 (150)的一個解，系指： n()tY( ) ( ) ( )t t t? AYY定理 1— 2 方程（ 1— 50）的所有解的集合，組成了實數(shù)域上的 n維向量空間。預備定理 （解的存在和唯一性）設 A及 f的每個元素 aij(t) ，fi 均在 上連續(xù)，則對于任何 及任何常向量 x0， 方程 (A1) 恒有定義在整個 一、齊次方程的解 1. 齊次方程（ 1— 50）解
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