微分中值定理的證明探討及其推廣-全文預(yù)覽
【正文】 的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與直線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差，是一條新曲線．則表明在點(diǎn)的切線平行于軸,則曲線在點(diǎn)的切線平行．由此可見(jiàn)，對(duì)平面上過(guò)任意一點(diǎn)與平行的任意直線為 （8） 用曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)與（8）上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差，作一個(gè)新函數(shù) 則滿足羅爾定理的條件（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ），從而有使．從而也就給出了拉格朗日定理的另一證明了．上述討論啟發(fā)我們對(duì)任意函數(shù)，若它們?cè)谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù) （9） 在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，要使，當(dāng)且僅當(dāng)（不妨設(shè)） （10）且存在，使若令，就會(huì)得到柯西中值定理．觀察（9）與（10），只要與的商滿足（10），就會(huì)有中值定理出現(xiàn)．取,可驗(yàn)證滿足（10）．此時(shí) （11） 分析體會(huì)函數(shù)（11），則會(huì)得到下面微分中值定理的一個(gè)推廣．4．2 微分中值定理的推廣定理4．2．1 設(shè)（ⅰ）函數(shù)）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ⅱ）函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（ⅲ）,則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 （12）證明 根據(jù)題意，設(shè)顯然，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，并且即．所以由羅爾中值定理知在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使證畢．當(dāng)（12）式中 時(shí)，則可得柯西中值定理．當(dāng)（12）式中 且 時(shí)，則可得拉格朗日中值定理．4．3 關(guān)于柯西中值定理的一種推廣微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，其中柯西中值定理的應(yīng)用尤為廣泛，下面將涉及兩個(gè)光滑函數(shù)的柯西微分中值定理推廣到了個(gè)光滑函數(shù)的情形，得到了類似的微分中值公式．(1) 問(wèn)題提出微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理,微積分的許多命題和不等式證明都要以它為依據(jù),特別是在證明有關(guān)中值問(wèn)題時(shí)，顯示了其不可替代的重要作用，在微分中值定理中，柯西 微分中值定理是最一般的情況，而拉格朗日和羅爾中值定理都是它的特例．現(xiàn)有文獻(xiàn)中對(duì)柯西中值定理的推廣都是從放寬函數(shù)或區(qū)間的條件入手進(jìn)行推廣的．[4] 下文將從另一個(gè)角度，在不改變函數(shù)的區(qū)間條件的情況下，將柯西微分中值定理推廣到涉及n個(gè)光滑函數(shù)的情況，得到推廣的柯西微分中值公式．(2) 主要結(jié)論《數(shù)學(xué)分析》教科書【5】中對(duì)柯西中值定理的表述是：設(shè)，是定義在區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)
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