【正文】 當(dāng)時(shí)， ，的本征值為的本征矢為 ，亦即的本征值為的本征矢。即，的本征值為。 37. 解：上題所表示的狀態(tài)，是的本征態(tài)，本征值是，但它們不是的本征態(tài)，所以分別以不同的幾率取和。 。：（1），一個(gè)態(tài)，（2），這種情況共6個(gè)態(tài)，寫出第一個(gè)波函數(shù)，其它可同理寫出， ；（3），共三種情況，寫出第一個(gè)波函數(shù)。這種對(duì)稱波函數(shù)是由所有可能的單粒子態(tài)波函數(shù)乘積組合而成，為了方便地寫出波函數(shù)，我們列一個(gè)填充單態(tài)的表： 單態(tài)符號(hào)填充方式IIIIIIIV 波函數(shù)為 ， ++， ++， 。 ＝ 。所以 。 設(shè)的本征值為，對(duì)應(yīng)本征矢為 ， 則本征方程為 ＝ 。再由本征矢的歸一化條件 ，得 。 即得的本征值為的本征矢為 ，亦即的本征值為的本征矢。取，于是有 。 在的表象中， ； ① 設(shè) ，根據(jù)厄密算符的定義，可知、必為實(shí)數(shù)，即 。 再由得。 32. 解： 。 波函數(shù)為： 。 （2）波函數(shù)的一級(jí)修正按公式為 ， 其中 ＝ ＝ ＝ ＝ 。 （2）精確求解： （設(shè)為負(fù)電荷） 。用到厄米多項(xiàng)式的正交性和遞推公式 ，及 ，則得到 ， 即各能級(jí)的一級(jí)微擾均為零。 28. 解：系統(tǒng)的哈密頓可寫作： ＝ ， 令 ，在新的坐標(biāo)下，關(guān)于的能量本征方程為 這一方程所決定的能級(jí)為 ＝ ， 即 ， 。 。 微擾哈密頓的矩陣元為 ＝ ，＝ 。 從上面已經(jīng)看出，所以能級(jí)的一級(jí)修正都為零，即 。 24. 解：平面轉(zhuǎn)子的能級(jí)及波函數(shù)分別為 ， 。 當(dāng)＝時(shí)，有 ， ，利用歸一化條件，得 ，于是于是 ；當(dāng)＝時(shí)，同理可得： 。 又 ，即， 所以 ，于是＝ 。 則 , 設(shè)的共同本征態(tài)為，則 ，所以 。 20. 解：設(shè)為的本征態(tài)，滿足本征方程 ＝ 。 18. 解：（1）求最可幾半徑： 電子在半徑為的球面上的幾率為： ，由 ，則求得最可幾半徑為： 。 16. 解： 對(duì)于線性諧振子， 能量的可測值為： ； ； 。最后得到歸一化的波函數(shù)為 。 ② 令 ，則①式變?yōu)?， ③ 它的解為 即 ， ④ 要求當(dāng)時(shí)有限，所以，故 。 （3）角動(dòng)量分量： 的本征方程 ，當(dāng)時(shí)，＝0 ；當(dāng)時(shí)， ；即的可能值是0和。 即歸一化的波函數(shù)為 ＝ ， 相應(yīng)的本征值為。 12. 解：設(shè)本征函數(shù)為，本征值為，則 ＝ 。 ， 。由的定義式和⑥式，得到體系的能量為 ， ＝整數(shù)。 和不能同時(shí)為零，否則到處為零，這在物理上是沒有意義的。 10. 解：在阱內(nèi)，體系所滿足的定態(tài)薛定諤方程是 ， ， ① 在阱外，定態(tài)薛定諤方程是 ， ， 。 9. 解： 由波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋知 ， 幾率密度隨時(shí)間的變化率為 。 8．解：在的區(qū)域，方程為： 解是 ， ，其中 ，是關(guān)于的n次多項(xiàng)式厄米多項(xiàng)式。 。 6. 解：粒子被限制在區(qū)間運(yùn)動(dòng)，除和兩點(diǎn)外，粒子在內(nèi)卻是自由的，故狀態(tài)可以看作兩個(gè)動(dòng)量為和的平面波的疊加，即 ， 由得 ， 即 。 所得結(jié)果說明表示向外傳播的球面波。 正負(fù)電子的能量 ， 這能量來自光量子。 一維諧振子的能量 ，整理為如下形式：， 這是橢圓方程，長半軸和短半軸分別為 ， 。 （六）計(jì)算題1. 解：在的情況下， ， 故 。 所以 。 （2） 。 ：設(shè)在和的共同表象中，的本征函數(shù)為，為所對(duì)應(yīng)的本征值，本征方程為： ， 即 ， ， 齊次方程有非零解的充要條件是系數(shù)行列式等于零，即 ，展開后整理得，即，得本征值為。 所以在動(dòng)量表象中，粒子具有確定動(dòng)量的波函數(shù)是以動(dòng)量為變量的函數(shù)。 。 ：在表象中，則的矩陣元為。 ：， 設(shè)具有分立能譜的哈密頓算符的歸一本征函數(shù)為，則：， 因?yàn)槭堑谋菊鲬B(tài)，滿足， 且是厄米算符，故： 。 所以有： ， 。 其中，均為實(shí)函數(shù)，是實(shí)數(shù)，只有是非實(shí)的，而 。 設(shè)有一任意波函數(shù)。： 。 則。：，則由厄密算符的定義得，是厄密算符。32．在以能量的本征函數(shù)為基矢張成的空間中表示態(tài)函數(shù)和算符的方式為能量表象。29．以粒子數(shù)為基矢的表象稱為占有數(shù)表象。24．主量子數(shù)以上的能級(jí)向能級(jí)躍遷的所有譜線組成的線系為Lyman線系。這一組完全確定體系狀態(tài)的力學(xué)量稱為力學(xué)量的完全集合。15．為幾率流密度矢量，它描寫了幾率的流動(dòng)。12．通常把在無限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。8．Bohr的原子量子論有三點(diǎn)：（1）原子有能量不連續(xù)的定態(tài)；（2）原子的軌道角動(dòng)量為常數(shù)的整數(shù)倍；（3）原子躍遷滿足公式。4．Einstein 認(rèn)為電磁輻射不僅在被吸收和發(fā)射時(shí)以能量為的微粒出現(xiàn)，而且以這種形式以速度c在空間運(yùn)動(dòng)，這種粒子叫做光量子或光子。反之正確）（對(duì)，二者通用）3（錯(cuò)，必須是不同本征值）3（錯(cuò)，算符的對(duì)易沒有傳遞性）3（對(duì)，這樣的算符才能表示力學(xué)量）3（錯(cuò)，一般而言是正確的，有特殊情況存在）3（對(duì)，測不準(zhǔn)關(guān)系是波粒二象性的必然結(jié)果）3（對(duì)，對(duì)易的物理量可同時(shí)確定）3（對(duì)，算符的對(duì)易關(guān)系不同于一般的代數(shù)運(yùn)算）3（錯(cuò)，由海森伯建立）3（錯(cuò)，必須是線性獨(dú)立的波函數(shù)個(gè)數(shù)）（對(duì)，連續(xù)的物理量歸δ函數(shù)）4（錯(cuò)，應(yīng)是烏倫貝克和歌德斯密脫）4（錯(cuò)，滿足角動(dòng)量的共同的對(duì)易關(guān)系）4（對(duì)，自旋與外磁場的作用引起附加能量）4（錯(cuò)，應(yīng)是電子是費(fèi)米子。，玻色子之間無作用，玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)，則體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子態(tài)表示？40. 一體系有三個(gè)全同的玻色子組成，玻色子之間無作用，玻色子有三個(gè)可能的單粒子態(tài)，則體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子態(tài)表示？練習(xí)題參考答案（一） 單項(xiàng)選擇題1. A, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 32 A, , 34. B, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , （二） 填空題 光具有粒子性；2；3；4；光的波粒二象性(或光的粒子性)；波粒二象性；7；1埃；波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比；為比例常數(shù)；1無窮多個(gè)；1如果和是體系的可能狀態(tài)，則它們的線性迭加也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)；13；14；15；16；1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋和薛定諤方程；18；19；單位時(shí)間內(nèi)區(qū)域V內(nèi)幾率的變化等于通過閉合曲面S流進(jìn)或流出的幾率；2，其中；2，其中；2單值、連續(xù)、有限；24；25；2在無窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)；27；28；2本征值；線性厄密算符；3實(shí)數(shù)；32；33；34；350；3庫侖；37；38；39；40；41；4相互正交；4為任意波函數(shù)；44；45；4必對(duì)易；47；4波粒二象性；49；50、它們的共同本征態(tài)；51；50；53；54；55；50；57；58；59；60、當(dāng)或時(shí)波函數(shù)有限；6態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式；62；63；64；65；6。31. 粒子處于寬為（）的一維無限深勢阱中，若受到微擾（為常數(shù)）的作用，試求粒子能量和波函數(shù)的一級(jí)修正。27. 設(shè)體系的哈密頓在的能級(jí)為各不相等，并且微擾哈密頓在表象中的表示為，其中為小實(shí)參量，試用微擾公式計(jì)算體系能量的二級(jí)近似值。，電耦極矩為的平面轉(zhuǎn)子處在均勻電場中，電場在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，若電場較小，試用微擾法求轉(zhuǎn)子能量的二級(jí)近似值。，其中為常量，試計(jì)算該體系的能級(jí)。，求徑向坐標(biāo)和勢能的平均值。中，求氫原子的能量、角動(dòng)量及角動(dòng)量的z分量的可測值，以及這些值出現(xiàn)的的幾率和它們的平均值。,計(jì)算其幾率流密度，并說明其物理意義。，和的測不準(zhǔn)關(guān)系是。，算符，試證明其本征值為。，證明。， 。，有一歸一化的波函數(shù),證明。(四)名詞解釋 （五）證明題，幾率流密度矢量與時(shí)間無關(guān)。。