【正文】 ???????????????????????相同時(shí)的行為與級(jí)數(shù)解在 2?? e???應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行為： ????????????????????2212212221e xpe xpe xpe xp)()( H不符合波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件,)()()(2/2向無窮不再趨相乘后在某一處中斷，使之與件限制使應(yīng)有限，必須用物理?xiàng)l實(shí)際問題中???????eH012)13(0,0 2????? ??naan nn式看就是要求：由。)(139。 2/2)()( ???? ?? eH令：漸近形式，我們自然會(huì)在無窮遠(yuǎn)處有的波函數(shù)為了使方程2/22220)(][?????????? ????exdd(9) ])([ 為待求函數(shù)?H將 (9)代入 (6) 0)()()( 222??? ???????dd標(biāo)準(zhǔn)條件 ? ? ))(([)( 2/2/ 22 ?? ?????? ?? ?????? eHeHd d? ? ? ? ? ? 2/2/2/ 222 ??? ????? ??? ??????? eHeHeH2/22/ 22 )()( ?? ??? ?? ?? eHeH? ? ? ? ? ? 2/2 2])1(2[ ?????? ???????? eHHH相減得將上式與 0)()()( 2 ????? ??????? ? ? ? ? ? 0)1(2 ??????? ????? HHH ——厄密方程 (9) 0)()()( 222??? ???????dd 2/2)()( ???? ?? eH解厄密方程 ? ? 則令 ,0nnnaH ?? ????? ? ? ? ? ? 0)1(2 ??????? ????? HHH?????????????????????2202001)1()1(22nnnnnnnnnnnnnnannaHnaHnaH?????39。 ∞ 時(shí)，應(yīng)有 c2 = 0， 因整個(gè)波函數(shù)尚未歸一化，所以 c1可以令其等于 1。 221)( kxxU ?r)(rU0 a)()(21)(22222xExkxxdxd ??????? ?建立 SE： (1) 整理得： 0)()2()( 222 ????? xxkEx ???? ??(2) ??k?令 (2)式變?yōu)椋? (3) 0)()2()( 22222 ????? xxEx ???????作變量代換，使自變量無量綱化 一、求解一維線性諧振子的薛定諤方程 0)()2()( 22222 ????? xxEx ???????22222, ?????? d ddxdd ddxdx ??? 則有：令0)2( 22222222 ??? ??????? xEdd??0)112( 2222222222??? ????????????Edd???? ???????EE 21222 ??0)()()( 222??? ???????dd(5) (4) (6) ，則有：，令 ?? ??????? ??? ,2 xE0)()()( 222??? ???????dd(6)為一變系數(shù)常微分方程 求解 (6) )()(21)(22222xExkxxdxd ??????? ?0222 ?? ?? ????dd2/22/1 22 ??? ecec ?? ??所以為求解方程，我們先看一下它的漸 近解，即當(dāng) ξ→ 177。簡諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡諧振動(dòng)的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。 線性諧振子 一、求解一維線性諧振子的薛定諤方程 方程的建立 求解 應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)條件 求歸一化系數(shù) 討論 二、物理意義 引言 何謂諧振子 2221 xU ???dxdUF ??因?yàn)榱孔恿W(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子 。 2 ??? txxUEtx ??? ?在量子力學(xué)中，勢能 U(x)取實(shí)數(shù) )()(* xUxU ?性質(zhì) 1： 如 是一維定態(tài)薛定鄂方程的解，對應(yīng)能量本征值為 E， 則 也是一維定態(tài)薛定鄂方程的解，對應(yīng)能量也為 E。 ??n 從以上分析可知：對于無限深勢阱來說，粒子只能在勢阱 U=0的區(qū)域能運(yùn)動(dòng)。能維無限深勢阱中粒子的即為能量本征值，是一nnEE(a)解 可得波函數(shù)有兩組解：??02s in xanA?axax?? )( 為偶數(shù)n (12) (b)解 ??02c os xanB?axax?? )( 為奇數(shù)n (13) )()()12( xx ?? ???具有奇宇稱，即式)()()13( xx ?? ??具有偶宇稱，即式二式，得合并 )13)(12(?n?0)(2s in axanA ???axax?? (14) 可由歸一化條件定出系數(shù) A ?aA 1??函數(shù)是：深勢阱中粒子的定態(tài)波由上可以得出一維無限tE niextx ???? )(),( ??08e x p)(2s i n1 222?????????? taniaxana ??? ??axax?? (15) 二、束縛態(tài) 為實(shí)函數(shù)且束縛態(tài)中波函數(shù)可以能級(jí)一般是分立的，而稱為束縛態(tài)。39。 一維無限深勢阱 l 求解 SE 方程 分四步： l （ 1）列出各勢域的一維 SE方程 l （ 2）解方程 l （ 3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 l （ 4）定歸一化系數(shù) 167。 三、求解定態(tài)問題的步驟 討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函 Ψ( r, t) 和在這些態(tài)中的能量 E。 數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程 + 邊界條件構(gòu)成本征值問題； ??? EH??????? EV ]2[2??將 改寫成 （ 2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件，對應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界 條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件。所以這兩個(gè)算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。也就是說，此時(shí)體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù) Ψ(r,t) 稱為定態(tài)波函數(shù)。 波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài) 波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件 單值、有限、連續(xù) 量子力學(xué)基本假定 量子力學(xué)基本假定 I 波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài) 量子力學(xué)基本假定 II 波函數(shù)隨時(shí)間的演化遵從 Schrodinger 方程 量子力學(xué)基本假定 III 態(tài)疊加原理 167。 （ 1） 這里的幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實(shí)現(xiàn)這種變化。粒子在 t 時(shí)刻 r 點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是： 證： – 考慮 Schrodinger 方程及其共軛式： )1(]2[ 22???????? Vti ???)2(]2[ 22?? ????????? Vti ???式得：將 )2()1( ????? ?][2 222???? ??????????????????????titi][22?????????????? ??? ??? ）（ti在空間閉區(qū)域 v中將上式積分，則有： ][22?????????????? ??? ??? ）（ti??? dddtdiVV][22???????????? ??? ?? ?? ）（??? diddtd VV ][2 ????????????? ??? ?? ?）（??? dJdtrdtdVV?? ???? ?? ),(][2 ???????? ????? iJ0?????? Jt ??J是幾率流密度，是一矢量 。. . . ,( 21 trrrU Ni ???)...,( 21 NrrrV ???). . . ,( 21 Ni rrr ????多粒子體系 Hamilton 量 ?? ??Zji jiZ rrerrrV||),(221 ??????iii rZerU 2)( ???對有 Z 個(gè)電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb 排斥作用： 而原子核對第 i 個(gè)電子的 Coulomb 吸引能為： 假定原子核位于坐標(biāo)原點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)為勢能零點(diǎn)。算符，亦常稱為是體系的式中 H a m i l t o nH a m i l t o nHtrHtrrVtrti?),(?),()](2[),(22?????????????????若粒子處于勢場 V(r) 中運(yùn)動(dòng)，則能動(dòng)量關(guān)系變?yōu)椋? HrVpE ??? )(22 ?? ???? )](2[2rVpE ??四 多粒子體系的 Schrodinger 方程 設(shè)體系由 N 個(gè)粒子組成， 質(zhì)量分別為 體系波函數(shù)記為 第 i個(gè)粒子所受到的外場 粒子間的相互作用 則多粒子體系的 Schrodinger 方程可表示為： )。將Ψ 對坐標(biāo)二次微商，得： ）（ 1???????????? EtiEit ???????? ???? )(e x p EtrpiA ???自由粒子波函數(shù) : 應(yīng)是所要建立的方程的解。具有確定動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用 de Broglie 平面波表示 根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài) Ψ 可表示成 p 取各種可能值的平面波的線性疊加，即 而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。 也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。 P Ψ1 Ψ 2 Ψ S1 S2 電子源 感光屏 一個(gè)電子有 Ψ 1 和 Ψ 2 兩種可能的狀態(tài)， Ψ 是這兩種狀態(tài)的疊加。 顯然，量子態(tài)的描述方式與經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)的描述方式 （每一時(shí)刻粒子的確定位置坐標(biāo)和動(dòng)量來描述）有 根本不同 。它們彼此 間 有確定的變換關(guān)系 ，彼此 完全等價(jià) 。 所以 波函數(shù) 也稱為 態(tài)函數(shù) ，也稱 幾率幅 。第二章 波函數(shù)與薛定諤方程 ? ? 態(tài)迭加原理 ? 薛定諤方程 ? 定態(tài)薛定諤方程 ? 一維無限深勢阱 ? 線性諧振子 ? 勢壘貫穿（隧道效應(yīng)） 粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律 167。因此， 完全描述了三維空間中的量子態(tài)。 因此，粒子的量子態(tài)即可以用 描述，也可以用 來描述（還可以有其他的描述方式）。 )(r??)( p??)( p??)(r??我們稱 是在 坐標(biāo)表象 中的表示， 是在 動(dòng)量表象 中的表示。 態(tài)疊加原理是 波的疊加性 和 波函數(shù)完全描述一體系的 量子態(tài) 的兩個(gè)概念的概括。 態(tài)疊加原理一般表述： 若 Ψ 1 ， Ψ 2 ,...