【正文】 ???? 2212 2111 fgfgfgfg21 AAAA,g,g * gfnm*mnfg mnnm SfggfA ??? . （ 3）力學量在不同表象中的矩陣表示之間的關(guān)系 與態(tài)矢量一樣，在不同表象中，力學量的矩陣表示是不同的 . 它們之間的關(guān)系也是幺正變換（即由幺正算符進行相似變換） 對于算符 L? 在 F 表象中的矩陣表示為 nmmmm,m mnnn fggL?ggffL?f ????? ?? nmmmmn fgggm,m gf )S()L?(S ??? ???? 即 ?? SL?SL? Gf mngf gfSmn ? 總結(jié)： F 表象 G? 表象 對同一波函數(shù)在不同表象中表示 nfa mgb 19 則 mm mnn gg gff bSa ?? 基矢 nmmn fgm gf )S)(r()r( ?? ??? 力學量 nmmmmm mnnn fggggg gfnnff )S(L?SfL?fL? ????? ?? ??? （ 4）幺正變換 設(shè)： U? 是一線性算符，有逆算符 1U?? 對某一力學量 L? 進行－相似變換 得 1U?L?U?L? ??? 即 L?U?U?L? ?? A． 對每 一算符 L?? 有與 L? 同樣的本征值 nLnL? n? nU?LnU?U?L?U? n1 ?? )nU?(L)nU?(L? n?? L?? 與 L? 有同樣的本征值 nL ，而本征函數(shù)為 nU? 例： mmmL? z ? 為單位）以（ ?zL? ，則 mee yz L?iL?i ???? 是 ???????? c osL?s ins inL?c oss inL?L? zyxn 的本征函數(shù)，本征值為 m 證： ?? zy L?iL?i ee 是 ???? yz L?iL?i ee 之逆算符。 ??? ? )P?1(P? 0P?P? 2 ????? 167。當然， 若 0)P?1( ??? ，那 ? 就是 P? 的本征值為 1 的本征矢。 ??? nnP?n nn?? （或者說， nP? 將空間所有態(tài)都投入到態(tài) n 上） 16 顯然 nnP? 00nnn???? 也是一投影算符。 A．定義 ：若厄密算符 P? 有性質(zhì) P?P?2? ，則稱該算符為投影算符。它在空間轉(zhuǎn)動下的變換為 B. EckaryW igner ? 定理 維格納 埃伽定理：矩陣元 jmTmj LM?? 與投影量子數(shù)的關(guān)系完全包含在GC? 系數(shù)中 ?jTjj m L MmjjLjmTmj LLM ?????? 證：由 jmTmjMjm]T,J[mj LMLMz ????? 于是有 0??????? jmTmj)Mmm( LM ，它是表示投影量子數(shù)的守恒規(guī)則。 所以是對角矩陣，而矩陣元為其本征值。 事實上，矩陣 ? ?nmL 描述了 A? 表象中的本征態(tài)， m? , 在 L? 算符作用 下，所得到的新的態(tài)矢量在 A? 表象中的表示。 而 mn L? ?? 是將態(tài)矢量 N 表示變到態(tài)矢量 R 表示，所以它起到 L? 算符同樣的作用。 它也是 ? ???????n x*x )xx()n()n(， 即位置算符 x? 的本征態(tài)以它在 N 表象中的表示來示出歸一化。 若 ? 就是 N 表象的本征矢 n ，那在自身表象中的表示 nn)n(n nna ?? ???? ? ????????????????????????00100??)n(na行第 n? ),2,1n( ???? N 表象中的基矢在 x 表象中的表示即為 )x(nx n?? ， 而 xn 代表 x 表象中的基矢（本征值為 x ）在 N 表象中的表示 )x(nx)n(xn *n*x ????? （注意這時量子數(shù)為 n ） 這樣，在坐標表象中，本征函數(shù)組，即基矢的正交、歸一，完備和封閉性就易于理解。 正交，歸一： ))cc(cc(nn nn ???????? ? 或； 6 對任一空間態(tài)矢量，可表為 ? 完備性： ? ???n )(nan。 （ 2）標積 有了態(tài)矢量 Ket 矢和 Bra 矢后。 如態(tài)矢量是 N? 的本征矢，它的本征值為 N，則本征矢可表為 N 。它現(xiàn)在已廣泛用于量子力學或文獻中。 ? ??????????? rd)r()rr(),()r( r ? ??????????? rd)r()rr(),()r( mmrm 而 ? ??? rd)r()r(a *mm 。 對于分立譜：則 ? 在 M? 表示中的表示 ? ?ma ，可以用一單列矩陣表示 ????????????21aaa 。對于任何一個態(tài)，都能按它展開 ? ?????? ?? ),(rd)r()r()r( r*r ?? ra?? 。我們將會看到， ? ?ma 與 )r(? 一樣，提供給我們同樣多的信息。 量子體系狀態(tài)的表示 現(xiàn)在來討論 體系狀態(tài)的“坐標” — 狀態(tài)表示 如果有一組力學量 M? 構(gòu)成一力學量完全集，其共同本征函數(shù)構(gòu)成一正交，歸一和完備組，并有封閉性。 Dirac 符號介紹 ................ 4 （ 1）量子態(tài)、 Ket 矢， Bra 矢（ Bracket） .. 5 （ 2）標積 5 （ 3）算符及其表示 ....................... 7 （ 4）不可約張量算符的矩陣元計算簡介 ......... 12 （ 5）投影算符 15 167。 量子體系狀態(tài)的表示 ............ 3 167。 量子態(tài)的不同描述 ............. 26 （ 1）薛定諤繪景 ..................... 27 （ 2）海森堡繪景 ..................... 28 3 第六章 量子力學的矩陣形式及表示理論 167。 顯然，當選定一組力學 量完全集 M? 后，則集合 ? ?ma 是與 )r(? 完全等價的，它完全確定了體系的狀態(tài)。因我們知 r? 本征函數(shù)為)r()rr( r?????? ，它是力學量 )z,y,x( 的共同本征函數(shù)，它當然形成一組正交，歸一和完備組。 通常體系處于某狀態(tài)，即認為被－態(tài)矢量描述。但在表示（或計算） ma 時，其實已用到態(tài)矢量在 r 表象中的表示及在 r 表象中的共同本征矢的表示。 所以 Dirac 建議用一抽象的符號來描述體系所處的狀態(tài)。為使它可代表不同 Ket 矢，則在這表示中給出特征標志符號。 當然，對于任何一個線性空間，都存在一個共軛空間，在這個共軛空間中 的態(tài)矢量我們可以以符號 來表示，稱為 Bra 矢，如 N ， nlm 等。態(tài)矢量的表示 若力學量 N? 形成一完全集，其共同本征態(tài)記為 n ，相應(yīng)本征值為 nN ，這就是 N表示的基矢，它是正交、歸一和完備的。對于連續(xù)譜，則為 Id ????? 若在 x 表象中， ? 的表示即為 )x(x ???? 。所以 ? ???????n *nn )xx()x()x(。 B. 算符的表示 算符 L? 是將一態(tài)矢量變?yōu)榱硪粦B(tài)矢量 NL?R ? 設(shè)： A? 是一力學量完全集，其正交，歸一，完備組基矢為 n? 則 NL?Rmmm nn ????? ? Rn? 和 Nm? 分別是態(tài)矢量 R ， N 在 A? 表象中表示。 在 r 表象中計算：態(tài)矢量和算符在 A? 表象中的表示和矩陣元 若 NL?R ? RrrdrR nn ? ??? rd)r()r(V R* n ?? ? ? ),V( Rn ?? ? Rna?? 同理 NNN*mmmm b),V(rd)r()r(VN ??? ?????? ? ? NmR mmnn b)L?(a ???? ?? 而 mnmn rrdrL?rrdrL? ???????? ? rdrd)r(V)L?)(r(V mn rr* ??? ???? 9 rL?r)L?( rr ??? ? ?? n nnn rLLLr )r(uL)r(un *nnn ?? ? )r(u)r(u)i,r(L?n *nn ???? ? ? )rr()i,r(L? ?????? ? 代入得 rd)r(V)i,r(L?)r(VL? mn*mn ?? ????? ? ? mn)L?( ??? 若 A? 算符即為 r? 算符，即 NrrdrL?rRr ???? ? ，則有 rd)r()]rr()i,r(L?[)r( NR ?????????? ? ? )r()i,r(L? N???? ? )i,r(L? ??? 為力學量 L? 在 r 表象中的算符。 于是，我們求算符 L? 在某表象中的矩陣表示，只要將它作用于該表象的基矢上，并將新的態(tài)矢量在該表象中展開， ????????? 3132121111 LLLL? ????????? 3232221212 LLLL? ????????? 3332321313 LLLL? ? 10 將其系數(shù)矩陣???????????????2212211