雙曲線性質(zhì)小結(jié)-全文預(yù)覽
【正文】 ∠APB最大，其正弦值為。55. 設(shè)∠AF2x=，則當(dāng)且僅當(dāng)=90176。設(shè)，A（m，0）代入雙曲線方程得：，則若，則（2）作P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，由（1）即證。當(dāng)時，設(shè)，則關(guān)于在上增至正無窮，在上單調(diào)減，在和之間先減后增，此時兩者異號。61,62,63為同一類問題，現(xiàn)給出公式：若點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比，則P點(diǎn)的軌跡為一個圓，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。=a，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。64. 設(shè)，由得消去參數(shù)得Q點(diǎn)的軌跡方程：。由雙曲線第二定義：∴AC過EF的中點(diǎn)。當(dāng)雙曲線方程變?yōu)闀r，雙曲線向右平移了個單位，定點(diǎn)也應(yīng)向右平移了個單位，故此時AB過定點(diǎn)即。故此時圓心的坐標(biāo)為即，半徑的平方仍為。和雙曲線相離；，或FF2在L同側(cè)直線L和雙曲線相交.71. 由35：聯(lián)立解得，消去參數(shù)得M點(diǎn)的軌跡方程為：72. 由43：。 。：，即證。85. 設(shè)P，則內(nèi)角平分線（即切線），由50得：，則86. 由4即證。91. 設(shè)，則 92. 設(shè)P，則 由此得P點(diǎn)的軌跡方程為，即：或。88. 由71：， 同理：，即兩焦點(diǎn)在以兩交點(diǎn)為直徑的圓上。 。，由切線長定理2F1S=PF1+PF2+F1F2，PS=F1SPF1，所以PS=PQ=ca.76圖 77圖77. 設(shè)P，由79中得到的外點(diǎn)坐標(biāo)和22中的焦半徑公式：：。無論a與b關(guān)系如何，均無最大值。70. 設(shè)L:Ax+By+C=0,則 將L代入雙曲線方程得：，且FF 2在雙曲線方程為：，AB的斜率為。當(dāng)雙曲線方程變?yōu)闀r，雙曲線向右平移了個單位，定點(diǎn)也應(yīng)向右平移了個單位，故此時AB過定點(diǎn)即（2）由69（2）P為原點(diǎn)，即m=n=0時Q的軌跡方程是（除原點(diǎn)）。（2）由基本不等式（漸近線時取等號），則梯形面積趨近于一個最小值。=，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。=c，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。當(dāng)介于和之間時：等號成立時即。，代入雙曲線方程得：，同理對傾斜角。56. （1）設(shè)，代入雙曲線方程得： ∵AP=≠0∴AP=（2）設(shè)則（3）由（2）：57. 由58可證。 53. k=,m= a ∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PA=時取等號。46. 設(shè)，由雙曲線極坐標(biāo)方程：， 47. 由10可知為切線 由22: 。設(shè)，則，則直線AC：同理BC：。設(shè)P，則則。即MF⊥NF當(dāng)A為右頂點(diǎn)時，由39可知左頂點(diǎn)A’與P、M；與Q、N分別共線，于是回到上一種情況。引理（張角定理）：A,C,B三點(diǎn)按順序排列在一條直線上。當(dāng)時，當(dāng)，即AB垂直于x軸時x0最小。易知y=e2x2mx+a2與的右交點(diǎn)為x0的值。則而設(shè)，則解得，代入m2得：令得：所以定長為2m（）的弦中點(diǎn)軌跡方程為。所以AP=BQ30. ① 當(dāng)A，B同支時，設(shè)，為AB中點(diǎn)。故對任意m，結(jié)論可統(tǒng)一表示為當(dāng)，即當(dāng)時，26. 由5即可得證。聯(lián)立AB與雙曲線方程得： 得即 ① AB中點(diǎn)在y=kx+m上，得 ②②代入①得，解②得 ③ 當(dāng)m=0時由①②得p=0。當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在左支時，等號成立.。代入雙曲線方程得：設(shè)得，則驗證k不存在的情況，也得到此結(jié)論。由上可知C1和C2上點(diǎn)由此建立起一種一一對應(yīng)的關(guān)系，即證。7圖 8圖8. 如圖，由切線長定理：，而，與重合，故內(nèi)切圓與x軸切于右頂點(diǎn)，同理可證P在其他位置情況。作F2關(guān)于切線PT的對稱點(diǎn)M，由4可知M在PF1上，則，垂足H為F2M的中點(diǎn)，則OH=，同理可證其它情況。，切線PT（即）的斜率為k，所在直線斜率為，所在直線斜率為，與PT的夾角為α，與PT的夾角為β。異側(cè)直線L和雙曲線相切,或是雙曲線的漸近線.（2），且FF2在L異側(cè)直線當(dāng)時，有.32．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.33．雙曲線（a＞0,b＞0）與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.34．設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點(diǎn)為FF2,P（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有.35．經(jīng)過雙曲線（a＞0,b＞0）的實軸的兩端點(diǎn)A1和A2的切線，與雙曲線上任一點(diǎn)的切線相交于P1和P2，則.36．已知雙曲線（b＞a＞0）
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