【微積分】泰勒公式(2)-全文預覽
【正文】 使 證法 1 用柯西中值定理 . ( ) s i n l n , ( ) l nf x x F x x?? 則 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上滿足柯西中值定理條件 , 令 因此 ?? ?11 lnc os即 分析 : 例 6. 試證至少存在一點 使 證法 2 令 xxf lns i n)( ?則 f (x) 在 [ 1 , e ] 上滿足羅爾中值定理條件 , 使 xlncos?? )( xf ?? 1sinx1因此存在 ?x1xln1s in ??例 6. 試證至少存在一點 小結 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 xxF ?)()()( bfaf ?1. 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關系； 注意定理成立的條件 ； 2. 微分中值定理的應用 (1) 證明恒等式 (2) 證明不等式 (3) 證明有關中值問題的結論 關鍵 : 利用逆向思維 設輔助函數(shù) 解答 ???????1,310,)( 21 xxxxf不滿足在閉區(qū)間上 連續(xù) 的條件； ],[,1)(2 baxxxf ??且 0?ab不滿足在開區(qū)間內(nèi) 可微 的條件； 以上兩個都可說明問題 . 思考題 試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可 . 練習題 1. 填空題 1) 函數(shù) 在區(qū)間 [1, 2] 上滿足拉格朗日定理 條件 , 則中值 ._ _ _ _ _??2) 設 有 個根 , 它們分別在區(qū)間 34153 )4,3(,)2,1( ,)3,2( 上 . 方程 ],π,0[)( Cxf ? 且在 )π,0( 內(nèi)可導 , 證明至少存 在一點 ,)π,0(?? 使 .c o t)()( ??? ff ???提示 : 由結論可知 , 只需證 即 0]s i n)([ ?? ? ?xxxf驗證 )(xF 在 ]π,0[ 上滿足羅爾定理條件 . 設 xxfxF s i n)()( ? )(xf 可導 , 試證在其兩個零點間一定有 )()( xfxf ?? 的零點 . 提示 : 設 ,0)()( 2121 xxxfxf ???欲證 : ,),(21 xx?? ? 使 0)()( ??? ?? ff只要證 0)()( ??? ?? ff?e ?e亦即 0])(e[ ??? ?xx xf作輔助函數(shù) ,)(e)( xfxF x? 驗證 )(xF 在 ],[ 21 xx上滿足羅爾定理條件 . 3. 若 ),0(,)0)(()0()( xxffxf ????? ??即 xx1s in2??1s in2(? ,)1c os x??),0( x??xx1s i n1s i n21c o s ??????當 ,0????? 0x 時 .01c os ??問 : 是否可由此得出 ?01c o sl i m0??? xx不能 ! 因為 )( x?? ? 是依賴于 x 的一個特殊的函數(shù) . 因此由上式
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