【微積分】泰勒公式(2)-展示頁
2025-07-31 11:20本頁面
【正文】 (1,0 xxxxx ????? 時證明當證 設(shè) ),1l n ()( ttf ??)0(),0)(()0()( xxffxf ?????? ??即 )0(,1)1l n ( xxx ????? ??,11 xxxx ???? ?.)1l n (1 xxxx ????在 [ 0 , x] 上應(yīng)用拉格朗日中值公式 , 得 因為 故 0)()()()( )()( ?????? ?? fFaFbF afbf )(???分析 : (1) 在閉區(qū)間 [ a , b ] 上連續(xù) (2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo) , 且在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi) 則至少存在一點 使 .)( )()()( )()( ??FfaFbF afbf ?????)()( aFbF ? ))(( abF ??? ? ba ?? ?0?要證 )()()()( )()()( xfxFaFbF afbfx ?????定理 3 (Cauchy中值定理 ) 若 f (x) 及 F(x) 滿足 證 作輔助函數(shù) )()()()( )()()( xfxFaFbF afbfx ?????.0)()(2)),((0)(?????aFbFbaxxF 可推得由定理由于,),(,],[)( 內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則 babax? 且 )()()( )()()()()( baFbF bFafaFbfa ?? ????由羅爾定理知 , 至少存在一點 使 即 .)( )()()( )()( ??FfaFbF afbf ?????思考 : 柯西定理的下述證法對嗎 ? ),(,))(()()( baabfafbf ????? ???),(,))(()()( baabFaFbF ????? ??兩個 ? 不 一定相同 錯 ! 上面兩式相比即得結(jié)論 . ,)( xxF ?當 ,1)(,)()( ????? xFabaFbF)()()()()()(???????FfaFbFafbf ).()()( ????? fabafbf注意 : 柯西定理的幾何意義 : )(?F)(aF?????)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy???注意 : xyo弦的斜率 切線斜率 例 5 ) ] .0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(fffxf???? ??? 使至少存在一點證明內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在設(shè)函數(shù)證 分析 : 結(jié)論可變形為 ??????2)(01)0()1( fff .)()(2 ?????xxxf,)( 2xxg ?設(shè)( ) , ( ) [ 0 , 1 ] ,f x g x則 在 上 滿 足 柯 西 中 值 定 理 的 條 件有內(nèi)至少存在一點在 ,)1,0( ????????2)(01)0()1( fff ) ] .0()1([2)( fff ?????即)e,1(,)( )()1(( e ) )1(( e ) ?????? ???FfFF ff
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