二次函數(shù)的性質(zhì)-全文預(yù)覽
【正文】 － ∞ ，－ b2 a] 和 [ －b2 a，＋ ∞ ) 分別具有單調(diào)性，但在整個(gè)定義域內(nèi)不具有單調(diào)性． 做一做 y＝ x2＋ 2x－ 2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ( ) A． (2， － 2) B． (1， － 2) C． (1， － 3) D． (－ 1， － 3) 解析：選 ＝ x2＋ 2x－ 2＝ (x＋ 1)2－ 3. 頂點(diǎn)為 (－ 1， － 3)． 2．函數(shù) y＝ x2－ x＋ 1的值域是 ( ) A ． R B ． [1 ，＋ ∞ ) C ． [34，＋ ∞ ) D ． ( － ∞ ，34] 解析： 選 C. y ＝ ( x － 12 ) 2 ＋ 34 ≥ 34 . 3．函數(shù) y＝ 5x2－ 4x－ 1在區(qū)間 ________上是增函數(shù)，在區(qū)間 ________上為減函數(shù)． 解析： 對(duì)稱軸 x ＝25.開口向上． 增區(qū)間為 [25，＋ ∞ ) ．減區(qū)間為 ( － ∞ ，25] ． 答案： [ 25 ，＋ ∞ ) ( － ∞ ， 25 ] 典題例證 (3)若 x∈ [t， t＋ 1](t∈ R)， 試求 f(x)的最小值g(t)． 【 解 】 f(x)＝ x2－ 2x＋ 2＝ (x－ 1)2＋ 1. (1)當(dāng) x∈ [－ 3,0]時(shí) ， 例 2 f(x)在 [－ 3,0]上為減函數(shù)， 故當(dāng) x＝－ 3時(shí) ， f(x)有最大值 f(－ 3)＝ 17. 當(dāng) x＝ 0時(shí) ， f(x)有最小值 f(0)＝ 2. (2)當(dāng) x∈ [－ 3,3]時(shí) ， f(x)是先減后增 ， 當(dāng) x＝ 1時(shí) ， f(x)有最小值 f(1)＝ 1. ∵ |－ 3－ 1||3－ 1|， ∴ 當(dāng) x＝－ 3時(shí) ， f(x)有最大值 f(－ 3)＝ 17. ∴ 函數(shù) f(x)的值域?yàn)?[1,17] (3)① 當(dāng) t＋ 1≤ 1， 即 t≤ 0時(shí) ， 由圖 (1)知 ， 截取減區(qū)間上的一段 ， g(t)＝ f(t＋ 1)＝ t2＋ 1；② 當(dāng) 1t＋ 1≤ 2即 0t≤ 1時(shí) ， 正巧將頂點(diǎn)截取在內(nèi) ， g(t)＝ f(1)＝ 1(見圖 (2))； ③ 當(dāng) t＋ 12， 即 t1時(shí) ， 由圖 (3)可知 ， 截取增區(qū)間上的一段 ， g(t)＝ f(t)＝ t2－ 2t＋ ， g ( t ) ＝????? t 2 ＋ 1 ， t≤ 0 ，1 ， 0 t≤ 1 ，t 2 － 2 t＋ 2 ， t 1. 【 思維總結(jié) 】 此類題要注意對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系 ， 當(dāng)位置不確定時(shí)要分軸在區(qū)間內(nèi) 、 區(qū)間外討論 ． 變式訓(xùn)練 f(x)＝ x2－ 2ax＋ 2， x∈ [－ 1,1]，求函數(shù) f(x)的最小值 ． 解：函數(shù) f(x)的對(duì)稱軸為 x＝ a,且開口向上 ，如圖所示 ， 當(dāng) a1時(shí) ， f(x)在 [－ 1,1]上單調(diào)遞減 ， 故f(x)min＝ f(1)＝ 3－ 2a； 當(dāng)－ 1≤ a≤ 1時(shí) ， f(x)在 [－ 1,1]上先減后增 ，故 f(x)min＝ f(a)＝ 2－ a2； 當(dāng) a－ 1時(shí) ， f(x)在 [－ 1,1]上單調(diào)遞增 ， 故f(
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