二次函數(shù)的性質(zhì)-在線瀏覽
2025-01-12 02:28本頁面
【正文】 數(shù) f(x)＝ x2－ 2ax＋ 4的對稱軸是 x＝ a， 函數(shù) f(x)＝ x2－ 2ax＋ 4在區(qū)間 (－ ∞ ，－ 1)上是遞減的 ， 則 (－ ∞ ， － 1)?(－ ∞ ， a]，所以 a≥ － 1. (2)由題意知 ， 函數(shù) f(x)＝ x2－ 2ax＋ 4的對稱軸是 x＝－ 1， 所以 a＝－ 1. 題型二 二次函數(shù)的值域 (最值 ) 已知二次函數(shù) f(x)＝ x2－ 2x＋ 2. (1)當(dāng) x∈ [－ 3,0]時 ,求 f(x)的最大值和最小值 。 (3)若 x∈ [t， t＋ 1](t∈ R)， 試求 f(x)的最小值g(t)． 【 解 】 f(x)＝ x2－ 2x＋ 2＝ (x－ 1)2＋ 1. (1)當(dāng) x∈ [－ 3,0]時 ， 例 2 f(x)在 [－ 3,0]上為減函數(shù)， 故當(dāng) x＝－ 3時 ， f(x)有最大值 f(－ 3)＝ 17. 當(dāng) x＝ 0時 ， f(x)有最小值 f(0)＝ 2. (2)當(dāng) x∈ [－ 3,3]時 ， f(x)是先減后增 ， 當(dāng) x＝ 1時 ， f(x)有最小值 f(1)＝ 1. ∵ |－ 3－ 1||3－ 1|， ∴ 當(dāng) x＝－ 3時 ， f(x)有最大值 f(－ 3)＝ 17. ∴ 函數(shù) f(x)的值域為 [1,17] (3)① 當(dāng) t＋ 1≤ 1， 即 t≤ 0時 ， 由圖 (1)知 ， 截取減區(qū)間上的一段 ， g(t)＝ f(t＋ 1)＝ t2＋ 1；② 當(dāng) 1t＋ 1≤ 2即 0t≤ 1時 ， 正巧將頂點截取在內(nèi) ， g(t)＝ f(1)＝ 1(見圖 (2))； ③ 當(dāng) t＋ 12， 即 t1時 ， 由圖 (3)可知 ， 截取增區(qū)間上的一段 ， g(t)＝ f(t)＝ t2－ 2t＋ ， g ( t ) ＝????? t 2 ＋ 1 ， t≤ 0 ，1 ， 0 t≤ 1 ，t 2 － 2 t＋ 2 ， t 1. 【 思維總結(jié) 】 此類題要注意對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系 ， 當(dāng)位置不確定時要分軸在區(qū)間內(nèi) 、 區(qū)間外討論 ． 變式訓(xùn)練 f(x)＝ x2－ 2ax＋ 2， x∈ [－ 1,1]，求函數(shù) f(x)的最小值 ． 解：函數(shù) f(x)的對稱軸為 x＝ a,且開口向上 ，如圖所示 ， 當(dāng) a1時 ， f(x)在 [－ 1,1]上單調(diào)遞減 ， 故f(x)min＝ f(1)＝ 3－ 2a； 當(dāng)－ 1≤ a≤ 1時 ， f(x)在 [－ 1,1]上先減后增 ，故 f(x)min＝ f(a)＝ 2－ a2； 當(dāng) a－ 1時 ， f(x)在 [－ 1,1]上單調(diào)遞增 ， 故f(x)min＝ f(－ 1)＝ 3＋ 2a. 綜上可知 ， f ( x ) m i n ＝????? 3 － 2 a a 1 ，2 － a 2 － 1 ≤ a ≤ 1 ，3 ＋ 2 a a － 1. 題型三 二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系 (本題滿分 12分 )已知關(guān)于 x的函數(shù) y＝ (m＋ 6)x2＋ 2(m－ 1)x＋ m＋ 1的圖像與 x軸總有交點 ． (1)求實數(shù) m的取值范圍； (2)當(dāng)函數(shù)圖像與 x軸有兩個交點且兩交點的
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