數(shù)學(xué)分析各校考研試題及答案-全文預(yù)覽
【正文】 是一個(gè)有界數(shù)列（2）對任意，存在一個(gè)求證存在一個(gè)子序列在[a,b]上一致收斂證：對任意，是一個(gè)有界數(shù)列故由致密性定理存在一收斂子列，設(shè)為，又令U=則U為[a,b]的一個(gè)開覆蓋集，由有限覆蓋定理，存在有限個(gè)開區(qū)間覆蓋[a,b]，不妨設(shè)為于是對0，有令則由條件（2）知對上述于是++由柯西準(zhǔn)則得證。2003南開大學(xué)年數(shù)學(xué)分析一、 設(shè)其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：令u=x+y,v=xy,z=x則；二、 設(shè)數(shù)列非負(fù)單增且，證明解：因?yàn)閍n非負(fù)單增，故有由；據(jù)兩邊夾定理有極限成立。發(fā)散a) 證明b) 證明其中；證：（1）因?yàn)槎鴨螠p而且收斂于0據(jù)狄利克萊判別法知（2）因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散則又由上題知故有七、設(shè) 證明（1）在一致收斂（2） 在連續(xù)證：（1）因收斂（可由狄利克萊判別法判出）故在t=0上一致收斂；又在x=1,t=0（2）（3）由單調(diào)遞減趨于，與都連續(xù)，由地尼定理，該收斂為一致收斂。，則，后者收斂，則原級(jí)數(shù)收斂。設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩邊對積分即可6. ，由在上有定義，則在上有界，則可以得到在上連續(xù)。 由知，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。 5證明: 6 證明: 我們先來證明一個(gè)不等式，一般的稱為CauchySchwarz不等式，即定理1 7 證明：8 設(shè)曲線的周長和所圍成的面積分別為L和S，還令，則.證明：由對稱性知9 解： 為證明=I，我們先來證明一個(gè)定理：定理2 設(shè)在|x|R內(nèi)收斂，若也收斂，則 回到題目，看數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，設(shè)=，|x|1,由定理2即知 ==I.10 解: 這是星形線，充分考慮到對稱性(x=0,y=0,x=y,x=y)，有北京大學(xué)20051設(shè)，試求和.解: 當(dāng)然此上極限可以令.此下極限當(dāng)然可以令1. (1)設(shè)在開區(qū)間可微，且在有界。解: . 又由于 比較系數(shù)有：，接下來，若 中 ，此時(shí)令 有。 對于任意方向極限，有。不妨設(shè)有不同的極限 。 解：首先，曲線是球面與平面的交線。易知有 。 又因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)。 如此，令，所以有開區(qū)間族 覆蓋了區(qū)間?？捎上鄳?yīng)與，當(dāng)，且時(shí)，有。 證法2：，對于任意，有一，使得．又有界，由BolzanoWeierstrass定理，所以其必存在 收斂子列收斂于中某值．因?yàn)閷θ我?。解：設(shè)a0,b0,證明：。討論：非一致連續(xù)，構(gòu)造函數(shù)：四、 設(shè)，討論函數(shù)的連續(xù)性和可微性。) 05蘇州大學(xué)8.(18分)設(shè)在上二次連續(xù)可微(其中),且在處的梯度,Hesse矩陣Q=：⑴在處取到極小值；⑵若是Q的最大特征值，是Q對應(yīng)于的特征向量，則從處沿著方向增長浙江師范大學(xué)2005年研究生一（每小題8分，共48分）計(jì)算題 求極限 .解 原式 3分 5分 8分 求級(jí)數(shù) 的和.解 作，則 2分作，則 因此 5分于是 ，原式 8分 求級(jí)數(shù) 的和. 解 因，故 2分為了求，作， 4分則 5分 6分因此，原式 8分求的值.解 原式 4分 8分 求極限 解 因的周期為， 2分故當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，存在正整數(shù)和整數(shù)使得，這時(shí)當(dāng)時(shí)， 4分而當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，
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