【正文】 ∵∠ AOD=2∠ ABD, ∴ 180176。=20176。,AC=2, ∴∠ ADB=∠ ACB=60176。, ∴∠ CBD=∠ OAD=20176。. 設(shè) DE交 AC于 N.∵ BC∥ DE,∴∠ ONH=∠ ACB=60176。,∴∠ ADC=∠ AGB,∴ BG∥ DC. 又由 (1)知 BC∥ DE,∴ 四邊形 DHBC為平行四邊形 ,∴ BC=DH=1. 在 Rt△ ABC中 ,AB=? ,tan∠ ACB=? =? , ∴∠ ACB=60176。. ∴∠ DEA=∠ ABC,∴ BC∥ DF, ∴∠ F=∠ PBC. ∵ 四邊形 BCDF是圓內(nèi)接四邊形 , ∴∠ F+∠ DCB=180176。=4? ? =2? . ADcos 30AD?6 32312 37.(2022福建 ,24,12分 )已知四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,AC是☉ O的直徑 ,DE⊥ AB,垂足為 E. (1)延長 DE交☉ O于點 F,延長 DC,FB交于點 P,如圖 :PC=PB。,因為 ∠ CAB=60176。.∵ 四邊形 ABCO是平行四邊形 ,∴∠ B=∠ AOC.∵∠ B+ ∠ D=180176。 176。,作 OD⊥ BC交 BC于點 D, ∴ BC=2BD. ∵ OB=OC, ∴∠ OBD=∠ OCD=? =30176。cos 30176。D E?2 2方法指導(dǎo) 在求解涉及圓的性質(zhì)的問題時 ,通常運用垂徑定理或圓周角定理得到相等的線段 或角或垂直關(guān)系 ,求解過程中常需作合適的輔助線構(gòu)造直角三角形 ,利用勾股定理等知識進行 求解 . 2.(2022陜西 ,9,3分 )如圖 ,△ ABC是☉ O的內(nèi)接三角形 ,∠ C=30176。, BD39。OC=90176。,∴∠ ABC= ∠ CBD39。=2OD=2,即 BD= BD39。,CD39。kBD=1, ∴ BD⊥ AB,∴ BD為☉ M的切線 . (3)連接 DO并延長交直線 MC于 P,P點即為所求 ,且線段 DO的長為 |DPAP|的最大值 . 設(shè)直線 DO的解析式為 y=kx, ∴ 5=6k, 解得 k=? , ∴ 直線 DO的解析式為 y=? x . 又 ∵ 在直線 DO上的點 P的橫坐標為 2,∴ y=? , ∴ P? , 此時 |DPAP|=DO=? =? . 456 56 53 53??????2265?61考點一 圓的有關(guān)概念與性質(zhì) B組 20222022年 全國 中考題組 1.(2022湖北武漢 ,10,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,點 C在優(yōu)弧 ? 上 ,將弧 ? 折疊后剛好經(jīng)過 AB的中點 D. 若☉ O的半徑為 ? ,AB=4,則 BC的長是 ? ( ) ? ? ? C.? D.? AB︵ BC︵532532 652答案 B 連接 AO,并延長交☉ O于點 D39。 (3)易知 ∠ CEF=∠ ODF=∠ OFD=∠ CFG,從而求出△ CFG∽ △ CEF,從而得出答案 . 10.(2022 深圳 ,22,9分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,☉ M過原點 O,與 x軸交于 A(4,0),與 y軸交于 B(0, 3),點 C為劣弧 AO的中點 ,連接 AC并延長到 D,使 DC=4CA,連接 BD. (1)求☉ M的半徑 。, ∠ DEC=∠ DEF+∠ CEF=90176。 (2)如圖 2,當(dāng) AC與半圓相切時 ,求 AD。=30176。? r=? r2,? (4分 ) 12 32 34∴ ? r2=? ,∴ r=1或 r=1(舍去 ),∴ OC=1. ∴ AB=? ,BD=2? .? (5分 ) ∵∠ BEO=180176。60176。60176。, ∴∠ ACF=∠ DAE=120176。 (3)連接 EF,求證 :EF是☉ O的切線 . ? 34解析 (1)證明 :∵ BC是☉ O的直徑 , ∴∠ BAC=∠ BAD=90176。 (2)S陰影 =S△ CODS扇形 BOC. 解題關(guān)鍵 (1)證明 OC⊥ CD。.? (5分 ) ∴ S扇形 BOC=? =? .? (6分 ) 在 Rt△ OCD中 ,∵ tan 60176。,? (2分 ) ∵ OA=OC, ∴∠ 2=∠ CAD=30176。 ②分 D在 C左側(cè)和 D在 C右側(cè)兩種情況 ,作 EI⊥ AB,證△ CAD∽ △ ABE,得 ? =? =? ,即 AE=? CD,可得 EI=? AE,可得 BE=2EI=2? AE=? AE=? ? CD=2CD,從而得出答案 . ︵ ︵ ACCD1222 222227.(2022梅州 ,20,9分 )如圖 ,點 D在☉ O的直徑 AB的延長線上 ,點 C在☉ O上 ,AC=CD,∠ ACD=120176。,可得 ∠ CAB=45176。,∴∠ IBE=30176。,∠ EAI=45176。∠ ABE∠ CBA=15176。=∠ AED, ∴∠ ADE=∠ AED,∴ AD=AE. ? 圖 1 (ii)當(dāng) D在 C右側(cè)時 ,如圖 2所示 ,連 OC,過 B作 BF⊥ l于 F, 同 (1)證得 ∠ BDF=30176。,∠ CBE=15176。, ∴∠ CAB=? =45176。, 又 AB=AD, ∴ BF=DF. ∵ OD∥ BC, ∴ ? =? =? =1, ∴ DG=BC=EG=CE=1,CF=GF, ∴ CG=? , ∴ EF=CF=GF=? CG=? . DG22 226.(2022廣州 ,25,14分 )如圖 ,AB是☉ O的直徑 ,?=?, AB=2,連接 AC. (1)求證 :∠ CAB=45176。,即 BC⊥ AC, ∴ OD∥ BC. (2)證明 :∵ tan∠ ABC=2,∴ BC=? AC, 由 (1)得 E是 AC的中點 ,∴ AE=? AC, ∴ BC=AE. ∵ AB=AD, ∴ Rt△ ABC≌ Rt△ DAE, ∴∠ BAC=∠ ADE, ∴∠ OAD=∠ BAC+∠ EAD=∠ ADE+∠ EAD=90176。,∴ 在 Rt△ ACO中 ,∠ C=50176。 176。,在 Rt△ AOB中 ,根據(jù)正切定義得 tan∠ BAO=? ,代入數(shù)值即 可得半徑 OB的長 ,由直徑是半徑的 2倍即可得出答案 . OBAB2.(2022廣州 ,6,3分 )如圖 ,☉ O是△ ABC的內(nèi)切圓 ,則點 O是△ ABC的 ? ( ) ? 答案 B ∵ ☉ O內(nèi)切于△ ABC,∴ 點 O到△ ABC三邊的距離相等 ,∴ 點 O是三條角平分線的交 點 ,故選 B. 3.(2022廣州 ,7,3分 )已知☉ O的半徑為 5,直線 l是☉ O的切線 ,則點 O到直線 l的距離是 ? ( ) 答案 C 圓心到圓的切線的距離等于半徑 ,故選 C. 4.(2022梅州 ,6,3分 )如圖 ,AB是☉ O的弦 ,AC是☉ O的切線 ,A為切點 ,BC經(jīng)過圓心 .若 ∠ B=20176。. 又 ∵ AB、 AC為圓 O的切線 , ∴ AC=AB,∠ BAO=∠ CAO=60176。. 22xx?2ABEDCESS 2AB??????22x x12∴ AD=DC, 在 Rt△ ABC中 ,∵∠ ABC=90176。,AB=x, ∴ AC=2x,OA=OC=OD=x。, ∵ BD平分 ∠ ABC,∴∠ 1=∠ 2=45176。 (2)在 CD延長線上截取 DE=BC,連接 EA,通過證明△ ACE是等腰直角三角形就可得出結(jié)論 。, ∴∠ BME=90176。,∴∠ ABC=∠ ADE, ∵∠ ABD=∠ ADB=45176。45176。, ∵∠ ABD=45176。. (1)求證 :BD是該外接圓的直徑 。HN= AH也可以通過作輔助線將 ∠ CMD轉(zhuǎn)移到同弧 所對的圓周角 ∠ CPD來求其正弦值 。HB, ∴ HE, ∴∠ MAB=∠ E, ∵ ?=?, ∴∠ MNB=∠ MAB,∴∠ MNB=∠ E. CDCP45BM︵ ︵∵∠ EHM=∠ NHF, ∴ △ EHM∽ △ NHF, ∴ ? =? , ∴ HECN, ∴ CN=? =? =? . ∴ sin∠ CMD=sin∠ CBD=? =? . 解法三 :連接 CO并延長 ,交☉ O于點 P,連接 DP, ∴∠ CDP=90176。 (2)求 sin∠ CMD。AE=AC2=(? )2=10. ∴ ADcos B=1247。 (2)如圖 1,在點 D運動的過程中 ,弦 AD的延長線交 BC的延長線于點 E,問 AD, ∴∠ CPB=∠ APB=30176。. AB︵ AB︵答案 50 解析 ∵ ? 所對的圓心角是 100176。, ∴∠ C=70176。 176。,∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。, ∵∠ DCB=20176。 176。 176。,∴∠ BOC=2∠ BAD, ∴ D正確 ,故選 D. 4.(2022茂名 ,9,3分 )如圖 ,A、 B、 C是☉ O上的三點 ,∠ B=75176。, ∴∠ OCE=50176。, 則下列說法中正確的是 ? ( ) ? =2OB =EO C.∠ OCE=40176。50176。 176。,由 OC⊥ AB可得 ?=?, ∴∠ AOB=2∠ AOC=80176。 176。,則 ∠ AOB的度數(shù)是 ( ) ? 176。 答案 D 根據(jù)“圓上一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半”可得 ∠ AOC= 2∠ ABC=40176。 176。,∵ DA=DC,∴∠ DAC=? (180176。及等腰三角形 的性質(zhì) ,求得 ∠ DAC的大小 . 解題關(guān)鍵 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得 ∠ D的大小是解題的關(guān)鍵 . 3.(2022廣州 ,9,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,AB是直徑 ,CD是弦 ,AB⊥ CD,垂足為 E,連接 CO,AD,∠ BAD=20176。, ∵ OC=OD,OB⊥ CD,∴∠ BOC=∠ BOD=40176。,∠ BAD=20176。 176。,則 ∠ DBA為 ? ( ) ? 176。 答案 D 解法一 :∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。,故選 D. 解法二 :連接 AD,則 ∠ DAB=∠ DCB=20176。,則 ∠ AOD等于 ? ( ) ? 176。 答案 C ∵ CD⊥ AB,∠ CAB=20176。,則 ? 所對的圓周角是 176。. AB︵︵ 128.(2022廣東 ,16,4分 )如圖 ,點 P是四邊形 ABCD外接圓☉ O上任意一點 ,且不與四邊形頂點重合 . 若 AD是☉ O的直徑 ,AB=BC=CD,連接 PA ,PB, PA =a,則點 A到 PB和 PC的距離之和 AE+AF= . ? 答案 ? a 132?解析 如圖 ,連接 OB、 OC,∵ AB=BC=CD, ∴ ? =?=?. 又 ∵ AD是☉ O的直徑 , ∴∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=60176。=? a, ∴ AE+AF=? a. ? AB︵BC︵CD︵1212 322?思路分析 根據(jù) AB=BC=CD,求出 ∠ AOB、 ∠ BOC的大小 ,進而求出 ∠ APB,∠ APF的大小 ,然后 根據(jù)直角三角形的邊、角關(guān)系求出 AE、 AF. 解題關(guān)鍵 求出 ∠ APB和 ∠ APF的大小 . 9.(2022深圳 ,22,9分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,AB=AC,BC=2,cos B=? ,點 D為 ? 上一動點 . (1)求 AB的值 。 (3)如圖 2,在點 D運動的過程中 ,若 AH⊥ BD,求證 :BH=CD+DH. ? 圖 1 1010AC︵? 圖 2 解析 (1)如圖① ,作 AM⊥ BC, ∵ AB=AC,AM⊥ BC,BC=2, ∴ BM=CM=? BC=1, ∵ cos B=? =? ,在 Rt△ AMB中 ,BM=1, ∴ AB=BM247。, ∴∠ ADC=∠ ACE, ∵∠ CAE為△ EAC與△ CAD的公共角 , ∴ △ EAC∽ △ CAD, ∴ ? =? , ∴ AD AE=AC2=AB2. (3)在 BD上取一點 N,使得 BN=CD,根據(jù) SAS得△ ABN≌ △ ACD,再由全等三角形的性質(zhì)得 AN= AD,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得 NH=DH,從而得 BH=BN+NH=CD+DH. 121010ACAE解題反思 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì) ,等腰三角形的性質(zhì) ,相似三角形的判定與性 質(zhì) ,銳角三角函數(shù)的定義等知識 .對綜合應(yīng)用能力要求比較高 ,尤其是在復(fù)雜的圖形中識別基本 圖形的能力要好 ,常見的由“等積形式”想到相似三角形 ,由證“一條線段等于另兩條線段 和”的形式想到通過構(gòu)造全等來“截長補短”等解題策略的掌握有利于思路的打開 . 10.(2022深圳 ,22,9分 )如圖 ,線段 AB是☉ O的直徑 ,弦 CD⊥ AB于點 H,點 M是不與 B、 C重合的 ? 上任意一點 ,AH=2,CH=4. (1)求☉ O的半徑 r。BH=? BD, 在 Rt△ EHB中 ,∠ E+∠ ABM=90176。HN=HA (2)只要證明 ∠ CMD=∠ COA,就可求出 sin∠ COA。HN,由△ HMA∽ △ HBN得到 HMHB,由此即可解決問題 .