【正文】 第五章 圓 圓的性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系 中考數(shù)學(xué) (廣東專用 ) 考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念與性質(zhì) A組 20222022年 廣 東中考題組 五年中考 1.(2022廣州 ,7,3分 )如圖 ,AB是☉ O的弦 ,OC⊥ AB,交☉ O于點(diǎn) C,連接 OA,OB,BC,若 ∠ ABC=20176。,則 ∠ AOB的度數(shù)是 ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D 根據(jù)“圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半”可得 ∠ AOC= 2∠ ABC=40176。,由 OC⊥ AB可得 ?=?, ∴∠ AOB=2∠ AOC=80176。. AC︵BC︵2.(2022廣東 ,9,3分 )如圖 ,四邊形 ABCD內(nèi)接于☉ O,DA=DC,∠ CBE=50176。,則 ∠ DAC的大小為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵ 四邊形 ABCD是☉ O的內(nèi)接四邊形 ,∴∠ D=∠ CBE=50176。,∵ DA=DC,∴∠ DAC=? (180176。50176。)=65176。,故選 C. 12思路分析 由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知 ,∠ D=∠ CBE,再由三角形的內(nèi)角和為 180176。及等腰三角形 的性質(zhì) ,求得 ∠ DAC的大小 . 解題關(guān)鍵 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得 ∠ D的大小是解題的關(guān)鍵 . 3.(2022廣州 ,9,3分 )如圖 ,在☉ O中 ,AB是直徑 ,CD是弦 ,AB⊥ CD,垂足為 E,連接 CO,AD,∠ BAD=20176。, 則下列說(shuō)法中正確的是 ? ( ) ? =2OB =EO C.∠ OCE=40176。 D.∠ BOC=2∠ BAD 答案 D ∵ AB為☉ O的直徑 ,∴ AB=2OB, 又 ∵ ABAD,∴ AD=2OB不正確 ,即 A不正確 。 連接 OD,則 ∠ BOD=2∠ BAD=40176。, ∵ OC=OD,OB⊥ CD,∴∠ BOC=∠ BOD=40176。, ∴∠ OCE=50176。,∴ EOCE, ∴ B不正確 ,C不正確 。 ∵∠ BOC=40176。,∠ BAD=20176。,∴∠ BOC=2∠ BAD, ∴ D正確 ,故選 D. 4.(2022茂名 ,9,3分 )如圖 ,A、 B、 C是☉ O上的三點(diǎn) ,∠ B=75176。,則 ∠ AOC的度數(shù)是 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 A 在同圓或等圓中 ,同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的 2倍 ,∴∠ AOC=2∠ B=150176。.故選 A. 5.(2022深圳 ,10,3分 )如圖 ,AB為☉ O的直徑 ,已知 ∠ DCB=20176。,則 ∠ DBA為 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 D 解法一 :∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ACB=90176。, ∵∠ DCB=20176。,∴∠ ACD=70176。,∵ 同弧所對(duì)的圓周角相等 , ∴∠ DBA=∠ ACD=70176。,故選 D. 解法二 :連接 AD,則 ∠ DAB=∠ DCB=20176。,∵ AB為☉ O的直徑 ,∴∠ ADB=90176。,∴∠ DBA=70176。. ? 6.(2022珠海 ,5,3分 )如圖 ,線段 AB是☉ O的直徑 ,弦 CD⊥ AB,∠ CAB=20176。,則 ∠ AOD等于 ? ( ) ? 176。 176。 176。 176。 答案 C ∵ CD⊥ AB,∠ CAB=20176。, ∴∠ C=70176。, ∵ 同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半 , ∴∠ AOD=2∠ C=140176。,故選 C. 7.(2022廣東 ,11,4分 )同圓中 ,已知 ? 所對(duì)的圓心角是 100176。,則 ? 所對(duì)的圓周角是 176。. AB︵ AB︵答案 50 解析 ∵ ? 所對(duì)的圓心角是 100176。, ∴ ? 所對(duì)的圓周角為 ? 100176。=50176。. AB︵︵ 128.(2022廣東 ,16,4分 )如圖 ,點(diǎn) P是四邊形 ABCD外接圓☉ O上任意一點(diǎn) ,且不與四邊形頂點(diǎn)重合 . 若 AD是☉ O的直徑 ,AB=BC=CD,連接 PA ,PB, PA =a,則點(diǎn) A到 PB和 PC的距離之和 AE+AF= . ? 答案 ? a 132?解析 如圖 ,連接 OB、 OC,∵ AB=BC=CD, ∴ ? =?=?. 又 ∵ AD是☉ O的直徑 , ∴∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=60176。, ∴∠ CPB=∠ APB=30176。, ∴ AE=? PA =? a,∠ APC=60176。, 在 Rt△ APF中 ,AF=APsin 60176。=? a, ∴ AE+AF=? a. ? AB︵BC︵CD︵1212 322?思路分析 根據(jù) AB=BC=CD,求出 ∠ AOB、 ∠ BOC的大小 ,進(jìn)而求出 ∠ APB,∠ APF的大小 ,然后 根據(jù)直角三角形的邊、角關(guān)系求出 AE、 AF. 解題關(guān)鍵 求出 ∠ APB和 ∠ APF的大小 . 9.(2022深圳 ,22,9分 )如圖 ,△ ABC內(nèi)接于☉ O,AB=AC,BC=2,cos B=? ,點(diǎn) D為 ? 上一動(dòng)點(diǎn) . (1)求 AB的值 。 (2)如圖 1,在點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ,弦 AD的延長(zhǎng)線交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,問(wèn) ADAE的值是否變化 ?若 不變 ,請(qǐng)求出 ADAE的值 ,若變化 ,請(qǐng)說(shuō)明理由 。 (3)如圖 2,在點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ,若 AH⊥ BD,求證 :BH=CD+DH. ? 圖 1 1010AC︵? 圖 2 解析 (1)如圖① ,作 AM⊥ BC, ∵ AB=AC,AM⊥ BC,BC=2, ∴ BM=CM=? BC=1, ∵ cos B=? =? ,在 Rt△ AMB中 ,BM=1, ∴ AB=BM247。cos B=1247。? =? . ? 圖① (2)連接 DC, 12AB1010∵ AB=AC, ∴∠ ACB=∠ ABC, ∵ 四邊形 ABCD內(nèi)接于圓 O, ∴∠ ADC+∠ ABC=180176。, ∵∠ ACE+∠ ACB=180176。, ∴∠ ADC=∠ ACE, ∵∠ CAE為△ EAC與△ CAD的公共角 , ∴ △ EAC∽ △ CAD, ∴ ? =? , ∴ ADAE=AC2=(? )2=10. ∴ ADAE的值不變 ,為 10. (3)在 BD上取一點(diǎn) N,使得 BN=CD,連接 AN,如圖② . 在△ ABN和△ ACD中 ,? AE10,2 1 ,A B A CB N C D???? ? ??? ??∴ △ ABN≌ △ ACD(SAS), ∴ AN=AD, ∵ AH⊥ BD, ∴ NH=HD, ∵ BN=CD,NH=HD, ∴ BN+NH=CD+HD=BH. ? 圖② 思路分析 (1)由條件 AB=AC想到等腰三角形的性質(zhì) ,由底角相等和三線合一得 BM=CM=? BC =1,再綜合條件 cos B=? 想到構(gòu)造含 ∠ B的直角三角形 ,故作 AM⊥ BC,問(wèn)題可解決 . (2)由結(jié)論“求 ADAE的值”想到證相似 ,所以要找到 AD和 AE所在的三角形 ,而且要證相似 ,所 以目標(biāo)轉(zhuǎn)為證△ EAC∽ △ CAD,已有一個(gè)公共角 ,另一個(gè)角就要通過(guò)圓的性質(zhì)和等角的補(bǔ)角相 等得 ∠ ADC=∠ △ EAC∽ △ CAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得 ? =? ,從而得 AD AE=AC2=AB2. (3)在 BD上取一點(diǎn) N,使得 BN=CD,根據(jù) SAS得△ ABN≌ △ ACD,再由全等三角形的性質(zhì)得 AN= AD,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得 NH=DH,從而得 BH=BN+NH=CD+DH. 121010ACAE解題反思 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì) ,等腰三角形的性質(zhì) ,相似三角形的判定與性 質(zhì) ,銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí) .對(duì)綜合應(yīng)用能力要求比較高 ,尤其是在復(fù)雜的圖形中識(shí)別基本 圖形的能力要好 ,常見(jiàn)的由“等積形式”想到相似三角形 ,由證“一條線段等于另兩條線段 和”的形式想到通過(guò)構(gòu)造全等來(lái)“截長(zhǎng)補(bǔ)短”等解題策略的掌握有利于思路的打開(kāi) . 10.(2022深圳 ,22,9分 )如圖 ,線段 AB是☉ O的直徑 ,弦 CD⊥ AB于點(diǎn) H,點(diǎn) M是不與 B、 C重合的 ? 上任意一點(diǎn) ,AH=2,CH=4. (1)求☉ O的半徑 r。 (2)求 sin∠ CMD。 (3)直線 BM交直線 CD于點(diǎn) E,直線 MN交☉ O于點(diǎn) N,連接 BN交 CD于點(diǎn) F,求 HEHF的值 . ? BC︵解析 (1)連接 OC,在 Rt△ COH中 ,OC=r,OH=r2, 由勾股定理得 (r2)2+42=r2,解得 r=5. (2)解法一 :連接 OD,∵ 弦 CD與直徑 AB垂直 , ? ∴ ? =? =? ? , ∴∠ AOC=? ∠ COD. ∵∠ CMD=? ∠ COD, ∴∠ CMD=∠ AOC, 在 Rt△ COH中 ,sin∠ AOC=? =? ,∴ sin∠ CMD=? . 解法二 :連接 BC,BD,作 CN⊥ BD,垂足為 N. AD︵AC︵12CD︵1212 CH45 45? ∵ 弦 CD與直徑 AB垂直 , ∴ CH=DH=4,又 BH=8, ∴ BC=BD=4? , ∵ S△ BCD=? CDBH=? BDCN, ∴ CN=? =? =? . ∴ sin∠ CMD=sin∠ CBD=? =? . 解法三 :連接 CO并延長(zhǎng) ,交☉ O于點(diǎn) P,連接 DP, ∴∠ CDP=90176。. ∵ r=5, 512 12CD BHBD?64451 6 55BC45∴ CP=10. ∵ AB⊥ CD,AB是直徑 , ∴ CD=2CH=8, ∴ sin∠ CMD=sin∠ CPD=? =? . (3)連接 AM,則 ∠ AMB=90176。, ? 在 Rt△ ABM中 ,∠ MAB+∠ ABM=90176。, 在 Rt△ EHB中 ,∠ E+∠ ABM=90176。, ∴∠ MAB=∠ E, ∵ ?=?, ∴∠ MNB=∠ MAB,∴∠ MNB=∠ E. CDCP45BM︵ ︵∵∠ EHM=∠ NHF, ∴ △ EHM∽ △ NHF, ∴ ? =? , ∴ HEHF=HMHN, ∵∠ HAM=∠ HNB,∠ HMA=∠ HBN, ∴ △ HMA∽ △ HBN, ∴ ? =? ,∴ HMHN=HAHB, ∴ HEHF=HAHB=16. HE思路分析 (1)在 Rt△ COH中 ,由勾股定理可以算出 r。 (2)只要證明 ∠ CMD=∠ COA,就可求出 sin∠ COA。也可以通過(guò)作輔助線將 ∠ CMD轉(zhuǎn)移到同弧 所對(duì)的圓周角 ∠ CPD來(lái)求其正弦值 。 (3)由△ EHM∽ △ NHF,推出 ? =? ,推出 HEHF=HMHN,由△ HMA∽ △ HBN得到 HMHN= AHHB,推出 HEHF=AHHB,由此即可解決問(wèn)題 . 11.(2022廣州 ,25,14分 )如圖 ,點(diǎn) C為△ ABD外接圓上的一動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) C不在 ? 上 ,且不與點(diǎn) B,D重 合 ),∠ ACB=∠ ABD=45176。. (1)求證 :BD是該外接圓的直徑 。 (2)連接 CD,求證 :? AC=BC+CD。 (3)若△ ABC關(guān)于直線 AB的對(duì)稱圖形為△ ABM,連接 DM,試探究 DM2,AM2,BM2三者之間滿足的 等量關(guān)系 ,并證明你的結(jié)論 . ? BAD︵2解析 (1)證明 :∵∠ ADB=∠ ACB,∠ ACB=45176。,∴∠ ADB=45176。, ∵∠ ABD=45176。,∴∠ BAD=180176?！?ABD∠ ADB=180176。45176。45176。=90176。,∴ BD是該外接圓的直徑 . (2)證明 :如圖 ,延長(zhǎng) CD至點(diǎn) E,使 DE=BC,連接 AE. ? ∵ 四邊形 ABCD內(nèi)接于圓 ,∴∠ ABC+∠ ADC=180176。, ∵∠ ADE+∠ ADC=180176。,∴∠ ABC=∠ ADE, ∵∠ ABD=∠ ADB=45176。,∴ AB=AD. 在△ ABC和△ ADE中 , ? ∴ △ ABC≌ △ ADE, ∴∠ BAC=∠ DAE,AC=AE, ,A B A DA B C A D EB C D E???? ? ?????∴∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD,即 ∠ BAD=∠ CAE=90176。, ∴ △ ACE是等腰直角三角形 ,∴ CE=? AC, ∵ CE=CD+DE=CD+BC,∴ ? AC=BC+CD. (3)DM2,AM2,BM2三者之間滿足的等量關(guān)系是 DM2=BM2+2AM2. 證明 :如圖 ,作 AE⊥ AM,且截取 AE=AM,連接 ME,BE. ? ∴ △ AME為等腰直角三角形 ,∠ AME=45176。,ME2=2AM2. ∵ △ ABC與△ ABM關(guān)于直線 AB對(duì)稱 , ∴∠ AMB=∠ ACB=45176。, ∴∠ BME=90176。,∴ BE2=BM2+ME2=BM2+2AM2. ∵∠ MA