55展開系數(shù)-全文預(yù)覽
【正文】 M(ta)中 tk的系數(shù) . [子題 ](3):(2020 年全國 高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 廣西 初賽試題 )已知 x+(1+x)2+(1+x)3+… +(1+x)n=a0+a1x+a2x2+… +anxn,且 a0+a2 +a3+… +an1=602 )1( ?nn,則正整數(shù) n的 可能值 是 ( ) (A)7 (B)6 (C)5 (D)4 [解析 ]:由 a1=(1+x)k中 x的系數(shù)和 =C11+C21+C31+… +Cn1=2 )1( ?nn,an=(1+x)n中 xn的系數(shù) =1。又由 a:b=3:2? Cn3=3Cn2? n=11. :令 x2=t,則 x=t+2,代入 x3=a0+a1(x2)+a2(x2)2+a3(x2)3得 (t+2)3=a0+a1t+a2t2+a3t3? a2=(t+2)3的 展開式中 t2的系數(shù)=2C32= (B). :令 x+1=t,則 x=t1,代入 x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+… +a5(1+x)5 得 (t1)5=a0+a1t+a2t2+… +a5t5? a3=(t1)5 的 展開式中t3的系數(shù) =C52=10. :令 x1=t,則 x=t+1,代入 x5+3x3+1=a0+a1(x1)+a2(x1)2+… +a5(x1)5得 (t+1)5+3(t+1)3+1=a0+a1+a2t2+… +a5t5? a3=(t+ 1)5+3(t+1)3+1 的 展開式中 t3的系數(shù) =C53+3C33=13. :令 x+1=t,則 x=t1,代入 x2+x10=a0+a1(x+1)+… +a9(x+1)9+a10(x+1)10得 (t1)2+(t1)10=a0+a1t+… +a9t9+a10t10? a9=(t 1)10的 展開式中 t9的系數(shù) =C101=10. :由 (ax+1)n的通項(xiàng)公式 Tk+1=Cnkakxk? a1=aCn1=3,a2=a2Cn2=4? a=3
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