55二次曲線系的合成與分解-全文預(yù)覽
【正文】 t)=0? (1+λ t2)x28λ txy+(1+12λ )y2+8λ ty4λ t24=0,該曲線系退化為直線AD:y=0與直線 MN的方程 ? 4λ t24=0? λ =21t? 曲線系 :y[t8 x+(1212t)yt8]=0? 直線 MN:t8x+(1212t)yt8=0過(guò)定點(diǎn) (1,0). :(Ⅰ )x=29。 (Ⅱ )E,F 是橢圓 C 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) ,如果直線 AE 的斜率與 AF 的斜率互為相反數(shù) ,證明 :直線 EF 的斜率為定值 ,并求出這個(gè)定值 . : :以 點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ,直線 AB 為 x 軸 ,建立直角坐標(biāo)系 ,設(shè)圓 Γ :x2+y2+dx+ey+f=0,直線 CD:xt1y=0,EF:xt2y=0,則 由圓 Γ 和直線 CD、 EF 合 成 的 二次曲線系 G:x2+y2+dx+ey+f+λ (xt1y)(xt2y)=0,當(dāng) 二 次曲線系 G 分解為直線 CF 與 DE 的方程之積 時(shí) ,令 y=0 得 :(1+λ )x2+dx+f=0,即 點(diǎn) I和點(diǎn) J的橫坐標(biāo)滿足二次方程 (1+λ )x2+dx+f=0? xi+xj=??1d,xixj=??1f ? ||1OI ||1OJ =ix?1jx1=ji ji xxxx? =fd 。 (Ⅱ )設(shè) x1=2,x2=31,求點(diǎn) T的坐標(biāo) 。 (Ⅱ )設(shè) 直線 PQ:y=tx53,代入42x+y2=1 得 :(1+4t2)x2524tx2564=0?221 xx?=)41(5 122tt?? 221 yy? =)41(5 3 2t?? 中垂線l:y+)41(5 3 2t?=t1(x)41(5 122tt?)? 在 x軸上的截距 b=)41(5 9 2tt?∈ [209,209]. [點(diǎn)評(píng) ]:利用曲線系的合成與分解解決 圓錐曲線上的完全四邊形 問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是 構(gòu)造“直線對(duì)” ,即圓錐曲線上的完全四邊形的每組相對(duì)的邊構(gòu)成一對(duì)“直線對(duì)” ,兩條對(duì)角線構(gòu)成一對(duì)“直線對(duì)” 。當(dāng) b≠ 0 時(shí) ,同理可得 :b24ac0,且 (bd2ae)2(b24ac)(d24af)=0. 子題類型Ⅰ :(蝴蝶定理 )圓 O中的弦 AB 的中點(diǎn) M,過(guò)點(diǎn) M任作兩弦 CD,EF,弦 CF 與 DE分別 交 AB 于 P,Q,則 M為 PQ 的 中點(diǎn) . [解析 ]:如圖 ,以 點(diǎn) M為坐標(biāo)原點(diǎn) ,直線 AB為 x軸 ,建立直角坐標(biāo)系 ,設(shè) 圓 :x2+(ya)2=r2,直線 CD: y=bx,EG:y=cx? 由 圓和直線 CD、 EF 合 成 的 二次曲線系 G:x2+(ya)2r2+λ (bxy)(cxy)=0,當(dāng) 二 次曲線系 G分解為直線 CF與 DE的方程之積 時(shí) ,令 y=0得 :(1+λ bc)x2+a2r2=0,即 點(diǎn) P和點(diǎn) Q的橫坐標(biāo)滿足二次方程 (1+λ bc)x2+ a2r2=0? xP+xQ=0? xP=xQ? M為 PQ的中點(diǎn) . [點(diǎn)評(píng) ]:證明 蝴蝶定理 的解析方法是曲線系應(yīng)用的典范 :首先由直線方程合成二次曲線系方程 ,進(jìn)而再由二次曲線系分解為直線方程 ,由此解決問(wèn)題 . 子題 類型 Ⅱ :(2020 年四川 高考 理 科 試題 )橢圓有兩頂點(diǎn) A(1,0)、 B(1,0),過(guò)其焦點(diǎn) F(0,1) 的直線 l 與橢圓交與 C、 D 兩點(diǎn) ,并與 x軸交于點(diǎn) AC與直線 BD 交于點(diǎn) Q. (Ⅰ )當(dāng) |CD|=23
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