【正文】 12179。 第 1 頁 共 32 頁 平面直角坐標(biāo)系與一次函數(shù)、反比例函數(shù) 、二次函數(shù) 考 點一、平面直角坐標(biāo)系 平面內(nèi)兩條有公共原點且互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)平面內(nèi)一點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對叫做這點的坐標(biāo) .在平面內(nèi)建立了直角坐標(biāo)系，就可以把“形”（平面內(nèi)的點）和“數(shù)”（有序?qū)崝?shù)對）緊密結(jié)合起來 . 2．各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特點、坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)的特點 點 P(x,y)在第一象限 0,0 ??? yx ； 點 P(x,y)在第二象限 0,0 ??? yx ； 點 P(x,y)在第三 象限 0,0 ??? yx ； 點 P(x,y)在第四象限 0,0 ??? yx ； 點 P(x,y)在 x 軸上 0??y ， x 為任意實數(shù)； 點 P(x,y)在 y 軸上 0??x ， y 為任意實數(shù)； 點 P(x,y)既在 x 軸上，又在 y 軸上 ? x， y 同時為零，即點 P坐標(biāo)為（ 0， 0） . 點 P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上 ? x 與 y 相等； 點 P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上 ? x 與 y 互為相反數(shù) . 位于平行于 x 軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同； 位于平行于 y 軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同 . x軸、 y 軸或原點對稱的點的坐標(biāo)的特征 點 P 與點 p′關(guān)于 x 軸對稱 ? 橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)； 點 P 與點 p′關(guān)于 y 軸對稱 ? 縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相 反數(shù)； 點 P 與點 p′關(guān)于原點對稱 ? 橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù) . P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離 （ 1）點 P(x,y)到 x 軸的距離等于 y ； （ 2）點 P(x,y)到 y 軸的距離等于 x ； （ 3）點 P(x,y)到原點的距離等于 22 yx ? . 要點詮釋： （ 1）注意： x 軸和 y 軸上的點，不屬于任何象限； （ 2）平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng) ba? 時，（ a， b）和（ b， a）是兩個不同點的坐標(biāo) . 考點二、函數(shù) 設(shè)在某個變化過程中有兩個變量 x、 y,如果對于 x 在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值， y 都有唯一確定的值與它相對應(yīng)，那么就說 y 是 x 的函數(shù)， x 叫做自變量 . 對于實際問題，自變量取值必須使實際問題有意義 .對于純數(shù)學(xué)問題，自變量取值應(yīng)保證數(shù)學(xué)式子有意義 . 3．表示方法 ⑴解析法；⑵列表法；⑶圖象法 . 第 2 頁 共 32 頁 4．畫函數(shù)圖象 （ 1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值； （ 2）描點：以表中每對 對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點； （ 3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來 . 要點詮釋： 確定自變量取值范圍的原則：①使代數(shù)式有意義；②使實際問題有意義 . 考 點三、幾種基本函數(shù) （定義→圖象→性質(zhì)） （ 1） 正比例函數(shù)： 如果 y=kx(k 是常數(shù)， k≠ 0)，那么 y 叫做 x 的正比例函數(shù)． （ 2）正比例函數(shù) y=kx（ k≠ 0)的圖象： 過（ 0， 0），（ 1， K）兩點的一條直線． （ 3）正比例函數(shù) y=kx（ k≠ 0)的性質(zhì) ①當(dāng) k＞ 0 時，圖象經(jīng)過第一、三象限， y 隨 x 的增大而增大； ②當(dāng) k＜ 0 時，圖象經(jīng)過第二、四象限， y 隨 x 的增大而減小 . （ 1）一次函數(shù)：如果 y=kx+b(k,b 是常數(shù)， k≠ 0),那么 y 叫做 x 的一次函數(shù)． （ 2）一次函數(shù) y=kx+b（ k≠ 0)的圖象 第 3 頁 共 32 頁 （ 3） 一次函數(shù) y=kx+b（ k≠ 0)的圖象 的性質(zhì) 一次函數(shù) y＝ kx＋ b 的圖象是經(jīng)過 (0， b)點和 )0,(kb?點的一條直線． ①當(dāng) k0 時， y 隨 x 的增大而增大； ②當(dāng) k0 時， y 隨 x 的增大而減小 . （ 1）定義：一般地，形如xky?（ k 為常數(shù)， ok? ）的函數(shù)稱為反比例函 數(shù) . 三種形式： kyx?(k≠ 0)或 kxy? 1? (k≠ 0)或 xy=k(k≠ 0). （ 2）反比例函數(shù)性質(zhì)： 反比例函數(shù) )0( ?? kxky k的符號 k0 k0 圖像 性質(zhì) ① x 的取值范圍是 x? 0， y 的取值范圍是 y? 0； ②當(dāng) k0 時，函數(shù)圖像的兩個分支分別 在第一、三象限 .在每個象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而減小 . ① x 的取值范圍是 x? 0， y 的取值范圍是 y? 0； ②當(dāng) k0 時，函數(shù)圖像的兩個分支分別 在第二、四象限 .在每個象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大 . 二次函數(shù)的定義 一般地，如果 2y ax bx c? ? ? （ a、 b、 c是常數(shù)， a≠ 0），那么 y 叫做 x 的 二次函數(shù)． 要點詮釋： 二次函數(shù) 2y ax bx c? ? ? (a≠ 0)的結(jié)構(gòu)特征是： (1)等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x的二次式， x 的最高次數(shù)是 2． (2)二次項系數(shù) a≠ 0． 二次函數(shù)的圖象及性質(zhì) 2y ax bx c? ? ? (a≠ 0)的圖象是一條拋物線， 頂點 為 24,24b ac baa????????． a＞ 0 時，拋物線的開口向上；當(dāng) a＜ 0 時，拋物線的開口向下． 第 4 頁 共 32 頁 3.① |a|的大小決定拋物線的開口大?。?|a|越大，拋物線的開口越小， |a|越小，拋物線的開口越大． ② c 的大小決定拋物線與 y 軸的交點位置 ： c＝ 0 時，拋物線過原點； c＞ 0 時，拋物線與 y 軸交于正半軸； c＜ 0 時，拋物線與 y 軸交于負半軸． ③ ab 的符號決定拋物線的對稱軸的位置 ： 當(dāng) ab＝ 0 時，對稱軸為 y 軸； 當(dāng) ab＞ 0 時，對稱軸在 y 軸左側(cè)； 當(dāng) ab＜ 0 時，對稱軸在 y 軸的右側(cè)． （ PS： 左同右異 ：對稱軸在 y軸左側(cè)，則 a和 b同號，反之，異號 ） 2()y a x h k? ? ?的圖象，可以由 2y ax? 的圖象移動而得到． 將 2y ax? 向上移動 k 個單位得： 2y ax k??． 將 2y ax? 向左移動 h 個單位得： 2()y a x h??． 將 2y ax? 先向上移動 k(k＞ 0)個單位，再向右移動 h(h＞ 0)個單位，即得函數(shù) 2()y a x h k? ? ?的圖象． 要點詮釋： 求拋物線 2y ax bx c? ? ?（ a≠0 ） 的對稱軸和頂點坐標(biāo)通常用三種方法 ：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用． 二次函數(shù)的解析式 ： 2 +y ax bx c??(a≠ 0)． 若已知條件是圖象上的三個點，則設(shè)所求二次函數(shù)為 2y ax bx c? ? ? ，將已知條件代入，求出 a、b、 c 的值． （雙根式） ： 12( ) ( ) ( 0 )y a x x x x a? ? ? ?． 若已知二次函數(shù)圖象與 x 軸的兩個交點的坐標(biāo)為 (x1， 0)， (x2， 0)，設(shè)所求二次函數(shù)為12( )( )y a x x x x? ? ?，將第三點 (m， n)的坐標(biāo) (其中 m、 n 為已知數(shù) )或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式． ： 2( ) ( 0 )y a x h k a? ? ? ?． 若已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值 (或最小值 )，設(shè)所求二次函數(shù)為2()y a x h k? ? ?，將已知條件代入，求出待定系 數(shù)，最后將解析式化為一般形式． ： 12( ) ( ) ( 0 )y a x x x x m a? ? ? ? ?． 若已知二次函數(shù)圖象上兩對稱點 (x1， m)， (x2， m)，則可設(shè)所求二次函數(shù)為 第 5 頁 共 32 頁 12( ) ( ) ( 0 )y a x x x x m a? ? ? ? ?，將已知條件代入，求得待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式． 要點詮釋： 根與系數(shù)的關(guān)系 (韋達定理 )： 二次函數(shù) 2y ax bx c? ? ? (a≠ 0) 的圖象的位置與系數(shù) a、 b、 c 的關(guān)系 ： a＞ 0 時，開口向上，否則開口向下． 軸 ： 02ba??時，對稱軸在 y軸的右側(cè)； 當(dāng) 02ba??時，對稱軸在 y 軸的左側(cè)． （ 左同右異 ） x 軸交點 ： 2 40b ac??時，有兩個交點； 2 40b ac??時，有一個交點； 2 40b ac??時，沒有交點． 要點詮釋： 當(dāng) x＝ 1 時 ，函數(shù) y＝ a+b+c； 當(dāng) x＝ 1 時，函數(shù) y＝ ab+c； 當(dāng) a+b+c＞ 0 時， x＝ 1 與函數(shù)圖象的交點在 x 軸上方，否則在下方； 當(dāng) ab+c＞ 0 時， x＝ 1 與函數(shù)圖象的交點在 x 軸的上方，否則在下方． 二次函數(shù)的最值 (根據(jù)公式或者化為頂點式 ) 公式法： a＞ 0 時，拋物線 2y ax bx c? ? ? 有最低點，函數(shù)有最小值，當(dāng) 2bx a?? 時， 24 4ac by a??最 ?。? a＜ 0 時，拋物線 2y ax bx c? ? ? 有最高點，函數(shù)有最大值，當(dāng) 2bx a?? 時， 24 4ac by a??最 大． 化頂點式法： 在求最值問題中 ，經(jīng)常會化頂點式 a0, 當(dāng) x=h 時， y 最大為 k； （在 沒有附加條件 的時候） a0, 當(dāng) x=h 時， y 最小為 k； 第 6 頁 共 32 頁 長沙歷年考試的真題： 選擇填空： 2020 年 12． 拋物線 23( 2) 5yx? ? ?的頂點坐標(biāo) 為 ； 2020 年 10． 二次函數(shù) 2y ax bx c= + + 的圖象如圖所示， 則下列關(guān)系式 錯誤 ． ． 的是 A． 0a? B． 0c? C． 2 40b ac?? D． 0abc? ? ? 2020 年 9．（ 3 分）（ 2020?黔東南州）某閉合電路中，電源的電壓為定值，電流 I（ A）與電阻 R（ Ω）成反比例．圖表示的是該電路中電流 I 與電阻 R 之間函數(shù)關(guān)系的圖象，則用電阻 R 表示電流 I 的 函數(shù)解析式為