【正文】 ，如果 2y ax bx c? ? ? （ a、 b、 c是常數(shù)， a≠ 0），那么 y 叫做 x 的 二次函數(shù)． 要點(diǎn)詮釋： 二次函數(shù) 2y ax bx c? ? ? (a≠ 0)的結(jié)構(gòu)特征是： (1)等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量 x的二次式， x 的最高次數(shù)是 2． (2)二次項(xiàng)系數(shù) a≠ 0． 二次函數(shù)的圖象及性質(zhì) 2y ax bx c? ? ? (a≠ 0)的圖象是一條拋物線， 頂點(diǎn) 為 24,24b ac baa????????． a＞ 0 時(shí)，拋物線的開口向上；當(dāng) a＜ 0 時(shí)，拋物線的開口向下． 第 4 頁 共 32 頁 3.① |a|的大小決定拋物線的開口大小． |a|越大，拋物線的開口越小， |a|越小，拋物線的開口越大． ② c 的大小決定拋物線與 y 軸的交點(diǎn)位置 ： c＝ 0 時(shí)，拋物線過原點(diǎn)； c＞ 0 時(shí)，拋物線與 y 軸交于正半軸； c＜ 0 時(shí)，拋物線與 y 軸交于負(fù)半軸． ③ ab 的符號(hào)決定拋物線的對(duì)稱軸的位置 ： 當(dāng) ab＝ 0 時(shí)，對(duì)稱軸為 y 軸； 當(dāng) ab＞ 0 時(shí)，對(duì)稱軸在 y 軸左側(cè)； 當(dāng) ab＜ 0 時(shí)，對(duì)稱軸在 y 軸的右側(cè)． （ PS： 左同右異 ：對(duì)稱軸在 y軸左側(cè)，則 a和 b同號(hào)，反之，異號(hào) ） 2()y a x h k? ? ?的圖象，可以由 2y ax? 的圖象移動(dòng)而得到． 將 2y ax? 向上移動(dòng) k 個(gè)單位得： 2y ax k??． 將 2y ax? 向左移動(dòng) h 個(gè)單位得： 2()y a x h??． 將 2y ax? 先向上移動(dòng) k(k＞ 0)個(gè)單位，再向右移動(dòng) h(h＞ 0)個(gè)單位，即得函數(shù) 2()y a x h k? ? ?的圖象． 要點(diǎn)詮釋： 求拋物線 2y ax bx c? ? ?（ a≠0 ） 的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)通常用三種方法 ：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際靈活選擇和運(yùn)用． 二次函數(shù)的解析式 ： 2 +y ax bx c??(a≠ 0)． 若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則設(shè)所求二次函數(shù)為 2y ax bx c? ? ? ，將已知條件代入，求出 a、b、 c 的值． （雙根式） ： 12( ) ( ) ( 0 )y a x x x x a? ? ? ?． 若已知二次函數(shù)圖象與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x1， 0)， (x2， 0)，設(shè)所求二次函數(shù)為12( )( )y a x x x x? ? ?，將第三點(diǎn) (m， n)的坐標(biāo) (其中 m、 n 為已知數(shù) )或其他已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式． ： 2( ) ( 0 )y a x h k a? ? ? ?． 若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值 (或最小值 )，設(shè)所求二次函數(shù)為2()y a x h k? ? ?，將已知條件代入，求出待定系 數(shù)，最后將解析式化為一般形式． ： 12( ) ( ) ( 0 )y a x x x x m a? ? ? ? ?． 若已知二次函數(shù)圖象上兩對(duì)稱點(diǎn) (x1， m)， (x2， m)，則可設(shè)所求二次函數(shù)為 第 5 頁 共 32 頁 12( ) ( ) ( 0 )y a x x x x m a? ? ? ? ?，將已知條件代入，求得待定系數(shù)，最后將解析式化為一般形式． 要點(diǎn)詮釋： 根與系數(shù)的關(guān)系 (韋達(dá)定理 )： 二次函數(shù) 2y ax bx c? ? ? (a≠ 0) 的圖象的位置與系數(shù) a、 b、 c 的關(guān)系 ： a＞ 0 時(shí)，開口向上，否則開口向下． 軸 ： 02ba??時(shí)，對(duì)稱軸在 y軸的右側(cè)； 當(dāng) 02ba??時(shí)，對(duì)稱軸在 y 軸的左側(cè)． （ 左同右異 ） x 軸交點(diǎn) ： 2 40b ac??時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)； 2 40b ac??時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)； 2 40b ac??時(shí)，沒有交點(diǎn)． 要點(diǎn)詮釋： 當(dāng) x＝ 1 時(shí) ，函數(shù) y＝ a+b+c； 當(dāng) x＝ 1 時(shí)，函數(shù) y＝ ab+c； 當(dāng) a+b+c＞ 0 時(shí)， x＝ 1 與函數(shù)圖象的交點(diǎn)在 x 軸上方，否則在下方； 當(dāng) ab+c＞ 0 時(shí)， x＝ 1 與函數(shù)圖象的交點(diǎn)在 x 軸的上方，否則在下方． 二次函數(shù)的最值 (根據(jù)公式或者化為頂點(diǎn)式 ) 公式法： a＞ 0 時(shí)，拋物線 2y ax bx c? ? ? 有最低點(diǎn)，函數(shù)有最小值，當(dāng) 2bx a?? 時(shí)， 24 4ac by a??最 ?。? a＜ 0 時(shí)，拋物線 2y ax bx c? ? ? 有最高點(diǎn)，函數(shù)有最大值，當(dāng) 2bx a?? 時(shí)， 24 4ac by a??最 大． 化頂點(diǎn)式法： 在求最值問題中 ，經(jīng)常會(huì)化頂點(diǎn)式 a0, 當(dāng) x=h 時(shí)， y 最大為 k； （在 沒有附加條件 的時(shí)候） a0, 當(dāng) x=h 時(shí)， y 最小為 k； 第 6 頁 共 32 頁 長(zhǎng)沙歷年考試的真題： 選擇填空： 2020 年 12． 拋物線 23( 2) 5yx? ? ?的頂點(diǎn)坐標(biāo) 為 ； 2020 年 10． 二次函數(shù) 2y ax bx c= + + 的圖象如圖所示， 則下列關(guān)系式 錯(cuò)誤 ． ． 的是 A． 0a? B． 0c? C． 2 40b ac?? D． 0abc? ? ? 2020 年 9．（ 3 分）（ 2020?黔東南州）某閉合電路中，電源的電壓為定值，電流 I（ A）與電阻 R（ Ω）成反比例．圖表示的是該電路中電流 I 與電阻 R 之間函數(shù)關(guān)系的圖象，則用電阻 R 表示電流 I 的 函數(shù)解析式為（ ） A． B． C． D． 14．（ 3 分）（ 2020?長(zhǎng)沙）如果一次函數(shù) y=mx+3 的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則 m 的取值范圍是 ___ ． 2020 年 7．如圖，關(guān)于拋物線 2( 1) 2yx? ? ? ，下列說法錯(cuò)誤的是 A．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (1， 2? ) B．對(duì)稱軸是直線 x=l C．開口方向向上 D．當(dāng) x1 時(shí)， Y 隨 X 的增大而減小 12．反比例函數(shù) ky x? 的圖象經(jīng)過點(diǎn) A( 2? ， 3)，則 k 的值為 第 7 頁 共 32 頁 ____________。4179。 己知函數(shù) 2 2 2 ( 3 )y x m x m? ? ? ? (m m 為常數(shù) )。 令 y=0，解得 1224xx?? ?， ∴ A( 20?， )， B(4,0) 作點(diǎn) B 關(guān)于直線 10yx?? 的對(duì)稱點(diǎn) B’ ，連結(jié) AB’ ， 則 AB’ 與直線 10yx?? 的交點(diǎn)就是滿足條件的 M 點(diǎn)。 2 21 202m m? ? ? ? ?， 所以此函數(shù)的圖象與 x 軸沒有交點(diǎn)． 對(duì)于關(guān)于 x 的二次函數(shù) 22 22my x m x ?? ? ? ． 由于 2221( ) 4 1 3 4 02mmm???? ? ? ? ? ? ? ?????△， 所以此函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)． 故圖象經(jīng)過 A， B 兩點(diǎn)的二次函數(shù)為 22 22my x m x ?? ? ? ． (2)將 A(1， 0)代入 22 22my x m x ?? ? ? ，得 2 2102mm ?? ? ?． 整理，得 m22＝ 0． 解之，得 m＝ 0，或 m＝ 2． 當(dāng) m＝ 0 時(shí)， y＝ x21．令 y＝ 0，得 x21＝ 0． 解這個(gè)方程，得 x1＝ 1， x2＝ 1． 此時(shí)， B 點(diǎn)的坐標(biāo)是 B(1， 0)． 當(dāng) m＝ 2 時(shí)， 2 23y x x? ? ? ． 令 y＝ 0，得 2 2 3 0xx? ? ? ． 解這個(gè)方程，得 x1＝ 1， x2＝ 3． 此時(shí)， B 點(diǎn)的坐標(biāo)是 B(3， 0)． (3)當(dāng) m＝ 0 時(shí)，二次函數(shù)為 y＝ x2l，此函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為 x＝ 0，所以當(dāng) x＜ 0 時(shí)， 函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小． 當(dāng) m＝ 2 時(shí)，二次函數(shù)為 y＝ x22x3＝ (x1)24，此函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為 x＝ l， 所以當(dāng) x＜ l 時(shí)，函數(shù)值 y 隨 x 的增大而減小． 第 29 頁 共 32 頁 4.【 答案與解析 】 解：探究 (1)① (1， 0)； ② 12,2???????. (2)過點(diǎn) A， D， B 三點(diǎn)分別作 x 軸的垂線，垂足分別為 A′， D′， B′，則 AA′∥ BB′∥ DD′． ∵ D 為 AB 中點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理得 A′ D′＝ D′ B′． ∴ OD′＝ 22c a a ca ????， 即 D 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 2ac? ． 同理可得 D 點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 2bd? ， ∴ AB 中點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ,22a c b d????????， 歸納 2ac? ， 2bd? ， 運(yùn)用 ①由題意得 2,3.yxy x????? ??? 解得 31xy?????， 或 1,???? ??? ∴即交點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(1， 3)， B(3， 1)． ②以 AB 為對(duì)角線時(shí)， 由上面的結(jié)論知 AB 中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (1， 1)， ∵平行四邊形對(duì)角線互相平分， ∴ OM＝ MP，即 M 為 OP 的中點(diǎn)， ∴ P 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2， 2)， 同理可得分別以 OA， OB 為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn) P 坐標(biāo)分別為 (4， 4)， (4， 4)， ∴滿足條件的點(diǎn) P 有三個(gè)，坐標(biāo)分別是 (2， 2)， (4， 4)， (4， 4)． ：（ 1） ∵ 點(diǎn) E、 F 在函數(shù) ( 0)kyxx??的圖象上， 第 30 頁 共 32 頁 ∴ 設(shè) E（ 1x ， 1kx ）， F（ 2x ，2kx ）， 1 x ＞ 0， 2x ＞ 0， ∴S 1=1 1122kkx x? ? ?， S2=2 2122kkx x? ? ?. ∵S 1＋ S2=2， ∴ 222kk??.∴ 2k? . （ 2） ∵ 四邊形 OABC 為矩形， OA=2， OC=4， ∴ 設(shè) E(2k ， 2)， F(4， 4k ). ∴BE=4 － 2k ， BF=2－ 4k . ∴S △BEF = 2114 2 42 2 4 1 6kk kk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， S△OCF = 1 42 4 2kk? ? ? ， S 矩形 OABC=21