【正文】 [a,b]上帶權(quán) 正交 . (3)代數(shù)多項(xiàng)式序列 (下標(biāo) k為多項(xiàng)式 的次數(shù) , 表示 k次多項(xiàng)式 ),在區(qū)間 [a,b]上滿足 當(dāng) m n 當(dāng) m=n 則稱多項(xiàng)式序列 為區(qū)間 [a,b]上帶權(quán) ( ) ( ) 0ba f x g x d x ??( ) ( ) ( ) 0ba x f x g x d x? ??()x?0{ ( )}kkgx ??()kgx20,( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ) 0bbnmanax g x g x d xx g x d x????? ????? ??0{ ( )}kkgx ?? 的正交多項(xiàng)式序列 . 定義 3 若 n次記多項(xiàng)式 中含 項(xiàng)的系 數(shù)為 ,則稱 為 的 首次系數(shù) 。39。 ( 5 )0 1 1 03 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) . . .2 1 6 0hhf x F F h f x? ? ? ?( 4 )39。 39。 39。 ()( ) ( ) ( )32f a bx a x x b? ?? ? ?2abx ?? Romberg積分 設(shè) 是任意數(shù) , 是關(guān)于步長(zhǎng) h逼近 的近似公式 ,它們的誤差估計(jì)式為 (1) 0h ? ()Fh*F* 2 31 2 3( ) ...F F h k h k h k h? ? ? ? ? Richardson外推法 外推法是用精確度較低的近似公式組合成精確度較高的近似公式的一種方法 . 這里 , k1,k2,k3,… 是一組常數(shù) . 我們希望找到一種簡(jiǎn)便的方法 ,用近似公式 F(h)的組合 ,得到誤差階較高的近似公式 ,使 (2) 此時(shí) , 逼近 F* 的誤差為 O(h2) 類似地 ,用 組合產(chǎn)生逼近 F* 的誤差 為 O(h3) 的近似公式等 .下面我們給出一種具體的組合方法 . ()Fh *F ()Oh2()Oh~ ()Fh~* 39。39。Chapter 7 數(shù)值積分與數(shù)值微分 內(nèi)容提綱（ Outline) ? 求積公式的代數(shù)精度 ? 插值型求積公式 ? 復(fù)化求積法 為什么要數(shù)值積分？ 在微積分里，按 NewtonLeibniz公式求定積分 要求被積函數(shù) f(x) ? 有解析表達(dá)式； ? f(x)的原函數(shù) F(x)為初等函數(shù)． ( ) ( ) ( ) ( )baI f f x d x F b F a? ? ??Why do we do numerical integral? 問(wèn)題 ? f(x)沒(méi)有解析表達(dá)式，只有數(shù)表形式 . ? f(x)有表達(dá)式，但原函數(shù)不是初等函數(shù) . ， 它們的原函數(shù)都不是初等函數(shù) . 210xe dx??10 ( a r c t a n )x x d x?x 1 2 3 4 5 f(x) 4 6 8 求定積分就得通過(guò)近似計(jì)算－數(shù)值積分求得積分近似值 基本思想是對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行近似，給出數(shù)值積分，同時(shí)考慮近似精度。 ()( ) ( )2!f x a x b? ??( 1 ) ( 1 )0112CC??( ) ( ( ) ( ) ) ( 1 , )2baI f f a f b R f?? ? ?011 ()2A A b a? ? ?( ) ( ( ) ( ) )2baT f f a f b???2( ) [ , ]f x C a b?339。39。0()fx (11) 導(dǎo)出具有誤差為 的外推公式 . 解 令 用 h/2代替 h,得 (12) 為消去含 的項(xiàng) ,用 4乘 (12)式減去 (11)式 ,得 239。0 0 0 01( ) [ ( ) ( ) ] ( )26hf x f x h f x h f xh? ? ? ? ?4( 5 )0( ) . . .120h fx??2()jOh1 0 01( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2F h F h f x h f x hh? ? ? ? ?2439。 ( 5 )0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) . . .2 2 4 1 9 2 0h h hf x F f x f x? ? ? ?2h2h 從而有 (13) 這里 這時(shí) , 逼近 的誤差為 . 重復(fù)用 h/2代替 h并消去含 的項(xiàng) ,得到逼近 的誤差為 的 外推公式為 ( 4 )39。 0()fx 2()jOh 注意 (14)式中第二項(xiàng)的分母為 而不 是 (10)式中的 .這是由于 (11)式中的余項(xiàng) 為關(guān)于 的冪次而不是關(guān)于 h的冪次 . Romberg求積方法 Romberg求積方法是以復(fù)化梯形公式為基 礎(chǔ) ,應(yīng)用 Richardson外推法導(dǎo)出的數(shù)值求積方 法 . 回憶 ,分別把積分區(qū) 111 1( / 2 ) ( )( ) ( ) 2 , 3 , . . . ,2 4 1jjjj jF h F hhF h F j k??? ??? ? ??141j? ?121j? ?2h間 [a， b]分為 1,2,4等分的結(jié)果列入表 72. 表 72 k 1 1 2 2 3 4 12 kkm ??kkbahm??1h b a??21 ()2h b a??31 ()4h b a??1 [ ( ) ( ) ]2h f a f b?22[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2h f a f b f a h? ? ?33{ ( ) ( ) 2 [ ( )2h f a f b f a h? ? ? ?33( 2 ) ( 3 ) ] }f a h f a h? ? ?我們還可以進(jìn)一步推導(dǎo)出它們的遞推關(guān)系 .由 可以化為 類似地 ,有 一般地 ,把區(qū)間 [a,b]逐次分半 k1次 , 區(qū)間長(zhǎng)度 (步長(zhǎng) )為 ,其中 .為 222[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2hT f a f b f a h? ? ? ?12 1 21 { [ ( ) ( ) ] ( ) ] }22hT f a f b h f a h? ? ? ?1 1 21 [ ( ) ]2 T h f a h? ? ?3 2 2 3 31 [ ( ( ) ( 3 ) ) ]2T T h f a h f a h? ? ? ? ?( 1 , 2 , ..., )kn?kkbahm?? 12 kkm ??敘述方便起見(jiàn) ,記 ,那么 , (15) 或 (16) 從而有 (17) 其中 . 按外推法的思想 ,可以把 (15)看成是關(guān)于 (1)kkTT?1( 1 )1[ ( ) ( ) 2 ( ( ) ) ]2kmkkkjhT f a f b f a jh??? ? ? ??( 1 ) 2 39。再區(qū) 間分半 ,令 k=3,區(qū)間長(zhǎng)度 ,先按 (16) 式計(jì)算 ,再按 (22)式計(jì)算 (表 73中第 三行 )等等 ,逐次分半?yún)^(qū)間 k次后的計(jì)算結(jié)果如表 73所示 (見(jiàn)下頁(yè) ). ()ba f x d x?1h b a??(1)1T2112hh? (1)2T(2)2T3 2 121122h h h??(1)3T( 2 ) ( 3 )33,TT 表 73 : : : : ……. 表 73中 的計(jì)算按行 (k的序號(hào) )進(jìn)行 ,每行第 1個(gè)元素 用復(fù)化梯形公式 (16)計(jì)算 ,其他元 素 均按 (22)式用 與 的組 合得到 .在實(shí)際應(yīng)用中 ,往往根據(jù)實(shí)際問(wèn)題對(duì)計(jì) (1)1T(1)2T(2)2T(1)3T (2)3T (3)3T1h2h3hkh (1)kT(2)kT (3)kT ()kkT(1)kT()jkT( 1)jkT ? ( 1 )1 ( 2 , 3 , . . . , )jkT j k?? ?()jkT算精確度的要求來(lái)確定區(qū)間逐次分半的次數(shù) . 常用不等式 (25) 作為達(dá)到精確度要求的判斷準(zhǔn)則 ,這里 , 是給 定的一個(gè)小的正數(shù) . 例 2 用 Romberg求積方法計(jì)算 (26) 的近似值 ,給定 解 首先令區(qū)間長(zhǎng)度 ,用梯形求積公式計(jì)算 ?101 l n 2 0 .6 9 3 1 4 7 1 .. .1 dxx ????0 .0 0 1? ?1 1h ?( 1 ) 11 [ ( 0) ( 1 ) ] 0. 75 00 00 02hT f f? ? ?( ) ( 1 )[]jjkkTT ????區(qū)間 [0,1]分半 ,令區(qū)間長(zhǎng)度 ,按 16式 計(jì)算 再按 (23)式計(jì)算 這時(shí) 未達(dá)到精確度要求 . 為此 ,再將區(qū)間分半 ,令區(qū)間長(zhǎng)度 按 (16)式計(jì)算 211122hh??( 1 ) ( 1 )2 1 21 ( ) 8333 3 ,2T T h f? ? ?( 2 )21 ( 4 0 .7 0 8 3 3 3 3 0 .7 5 0 0 0 0 0 ) 0 .6 9 4 4 4 4 43T ? ? ? ?( 1 ) ( 2 )22[ ] 1388 89TT ??321124hh?? 按 j=2和 j=3的外推公式 (2