【正文】 [a,b]上帶權 正交 . (3)代數(shù)多項式序列 (下標 k為多項式 的次數(shù) , 表示 k次多項式 ),在區(qū)間 [a,b]上滿足 當 m n 當 m=n 則稱多項式序列 為區(qū)間 [a,b]上帶權 ( ) ( ) 0ba f x g x d x ??( ) ( ) ( ) 0ba x f x g x d x? ??()x?0{ ( )}kkgx ??()kgx20,( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ) 0bbnmanax g x g x d xx g x d x????? ????? ??0{ ( )}kkgx ?? 的正交多項式序列 . 定義 3 若 n次記多項式 中含 項的系 數(shù)為 ,則稱 為 的 首次系數(shù) 。39。 ( 5 )0 1 1 03 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) . . .2 1 6 0hhf x F F h f x? ? ? ?( 4 )39。 39。 39。 ()( ) ( ) ( )32f a bx a x x b? ?? ? ?2abx ?? Romberg積分 設 是任意數(shù) , 是關于步長 h逼近 的近似公式 ,它們的誤差估計式為 (1) 0h ? ()Fh*F* 2 31 2 3( ) ...F F h k h k h k h? ? ? ? ? Richardson外推法 外推法是用精確度較低的近似公式組合成精確度較高的近似公式的一種方法 . 這里 , k1,k2,k3,… 是一組常數(shù) . 我們希望找到一種簡便的方法 ,用近似公式 F(h)的組合 ,得到誤差階較高的近似公式 ,使 (2) 此時 , 逼近 F* 的誤差為 O(h2) 類似地 ,用 組合產(chǎn)生逼近 F* 的誤差 為 O(h3) 的近似公式等 .下面我們給出一種具體的組合方法 . ()Fh *F ()Oh2()Oh~ ()Fh~* 39。39。Chapter 7 數(shù)值積分與數(shù)值微分 內容提綱（ Outline) ? 求積公式的代數(shù)精度 ? 插值型求積公式 ? 復化求積法 為什么要數(shù)值積分？ 在微積分里，按 NewtonLeibniz公式求定積分 要求被積函數(shù) f(x) ? 有解析表達式； ? f(x)的原函數(shù) F(x)為初等函數(shù)． ( ) ( ) ( ) ( )baI f f x d x F b F a? ? ??Why do we do numerical integral? 問題 ? f(x)沒有解析表達式，只有數(shù)表形式 . ? f(x)有表達式，但原函數(shù)不是初等函數(shù) . ， 它們的原函數(shù)都不是初等函數(shù) . 210xe dx??10 ( a r c t a n )x x d x?x 1 2 3 4 5 f(x) 4 6 8 求定積分就得通過近似計算－數(shù)值積分求得積分近似值 基本思想是對被積函數(shù)進行近似，給出數(shù)值積分，同時考慮近似精度。 ()( ) ( )2!f x a x b? ??( 1 ) ( 1 )0112CC??( ) ( ( ) ( ) ) ( 1 , )2baI f f a f b R f?? ? ?011 ()2A A b a? ? ?( ) ( ( ) ( ) )2baT f f a f b???2( ) [ , ]f x C a b?339。39。0()fx (11) 導出具有誤差為 的外推公式 . 解 令 用 h/2代替 h,得 (12) 為消去含 的項 ,用 4乘 (12)式減去 (11)式 ,得 239。0 0 0 01( ) [ ( ) ( ) ] ( )26hf x f x h f x h f xh? ? ? ? ?4( 5 )0( ) . . .120h fx??2()jOh1 0 01( ) ( ) [ ( ) ( ) ]2F h F h f x h f x hh? ? ? ? ?2439。 ( 5 )0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) . . .2 2 4 1 9 2 0h h hf x F f x f x? ? ? ?2h2h 從而有 (13) 這里 這時 , 逼近 的誤差為 . 重復用 h/2代替 h并消去含 的項 ,得到逼近 的誤差為 的 外推公式為 ( 4 )39。 0()fx 2()jOh 注意 (14)式中第二項的分母為 而不 是 (10)式中的 .這是由于 (11)式中的余項 為關于 的冪次而不是關于 h的冪次 . Romberg求積方法 Romberg求積方法是以復化梯形公式為基 礎 ,應用 Richardson外推法導出的數(shù)值求積方 法 . 回憶 ,分別把積分區(qū) 111 1( / 2 ) ( )( ) ( ) 2 , 3 , . . . ,2 4 1jjjj jF h F hhF h F j k??? ??? ? ??141j? ?121j? ?2h間 [a， b]分為 1,2,4等分的結果列入表 72. 表 72 k 1 1 2 2 3 4 12 kkm ??kkbahm??1h b a??21 ()2h b a??31 ()4h b a??1 [ ( ) ( ) ]2h f a f b?22[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2h f a f b f a h? ? ?33{ ( ) ( ) 2 [ ( )2h f a f b f a h? ? ? ?33( 2 ) ( 3 ) ] }f a h f a h? ? ?我們還可以進一步推導出它們的遞推關系 .由 可以化為 類似地 ,有 一般地 ,把區(qū)間 [a,b]逐次分半 k1次 , 區(qū)間長度 (步長 )為 ,其中 .為 222[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2hT f a f b f a h? ? ? ?12 1 21 { [ ( ) ( ) ] ( ) ] }22hT f a f b h f a h? ? ? ?1 1 21 [ ( ) ]2 T h f a h? ? ?3 2 2 3 31 [ ( ( ) ( 3 ) ) ]2T T h f a h f a h? ? ? ? ?( 1 , 2 , ..., )kn?kkbahm?? 12 kkm ??敘述方便起見 ,記 ,那么 , (15) 或 (16) 從而有 (17) 其中 . 按外推法的思想 ,可以把 (15)看成是關于 (1)kkTT?1( 1 )1[ ( ) ( ) 2 ( ( ) ) ]2kmkkkjhT f a f b f a jh??? ? ? ??( 1 ) 2 39。再區(qū) 間分半 ,令 k=3,區(qū)間長度 ,先按 (16) 式計算 ,再按 (22)式計算 (表 73中第 三行 )等等 ,逐次分半?yún)^(qū)間 k次后的計算結果如表 73所示 (見下頁 ). ()ba f x d x?1h b a??(1)1T2112hh? (1)2T(2)2T3 2 121122h h h??(1)3T( 2 ) ( 3 )33,TT 表 73 : : : : ……. 表 73中 的計算按行 (k的序號 )進行 ,每行第 1個元素 用復化梯形公式 (16)計算 ,其他元 素 均按 (22)式用 與 的組 合得到 .在實際應用中 ,往往根據(jù)實際問題對計 (1)1T(1)2T(2)2T(1)3T (2)3T (3)3T1h2h3hkh (1)kT(2)kT (3)kT ()kkT(1)kT()jkT( 1)jkT ? ( 1 )1 ( 2 , 3 , . . . , )jkT j k?? ?()jkT算精確度的要求來確定區(qū)間逐次分半的次數(shù) . 常用不等式 (25) 作為達到精確度要求的判斷準則 ,這里 , 是給 定的一個小的正數(shù) . 例 2 用 Romberg求積方法計算 (26) 的近似值 ,給定 解 首先令區(qū)間長度 ,用梯形求積公式計算 ?101 l n 2 0 .6 9 3 1 4 7 1 .. .1 dxx ????0 .0 0 1? ?1 1h ?( 1 ) 11 [ ( 0) ( 1 ) ] 0. 75 00 00 02hT f f? ? ?( ) ( 1 )[]jjkkTT ????區(qū)間 [0,1]分半 ,令區(qū)間長度 ,按 16式 計算 再按 (23)式計算 這時 未達到精確度要求 . 為此 ,再將區(qū)間分半 ,令區(qū)間長度 按 (16)式計算 211122hh??( 1 ) ( 1 )2 1 21 ( ) 8333 3 ,2T T h f? ? ?( 2 )21 ( 4 0 .7 0 8 3 3 3 3 0 .7 5 0 0 0 0 0 ) 0 .6 9 4 4 4 4 43T ? ? ? ?( 1 ) ( 2 )22[ ] 1388 89TT ??321124hh?? 按 j=2和 j=3的外推公式 (2