【正文】 似方程組求出的解是原問(wèn)題的真解 x加上誤差 ?x,即 x+?x。主元。 當(dāng) A有 LDLT分解時(shí) ， 利用矩陣運(yùn)算法則及相等原理易得計(jì)算 ljk及 dk的公式為 ?????????????????11112/)(kmkmkmjmjkjkkmmkmkkkddllaldlad k=1,2,? ,n。我們的特征，將可大大減少的線性形式時(shí)，注意到我們解次乘除法運(yùn)算。追趕法，只需增加組程次，若另外增加一個(gè)方有計(jì)算量、乘除法次數(shù)僅求解公式也比較簡(jiǎn)單，分解。 A=LU， 則 L是下帶寬為 p的單位下三角矩陣 ， U是上帶寬為 q的上三角矩陣 。 ??????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnbacbacbacbAdxbxadxcxbxadxcxbxadxcxb111222111111111232221212111????對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣三對(duì)角線性方程組： 設(shè)有方程組 Ax=d，其中 A為三對(duì)角矩陣。 （ 3） [A]陣的存儲(chǔ)空間可利用，節(jié)省存儲(chǔ) 。一般說(shuō)來(lái)，分解的運(yùn)算次數(shù)正比于 n 回代求解正比與 n。 L和 U中的三角零元素都不 必存儲(chǔ)，就是 U的對(duì)角元素也因?yàn)槎际?1沒(méi)有必要再 記錄在程序中，這樣只用一個(gè) n階方陣就可以把 L和 U貯存起來(lái)。 U下三角 , L 為單位下三角陣（對(duì)角元全為 1）， U為上三角陣，則稱 LUA ? 為 Doolittle分解 。所以????????????????0121332311A?? 23 21 rr ????????????02/112/1003/2022/203/1023/51? 理解 完全主元素消去法 ? 會(huì)用 列主元素消去法 解方程組； P98 、 、 （改為用 列主高斯約當(dāng)法解） 作業(yè) : 列主元素消去法 列主元高斯 —約當(dāng) （ Gauss –Jordan)消去法 會(huì)用 列主元高斯 —約當(dāng) （ Gauss –Jordan)消去法求矩陣的逆矩陣 。解即 消去法 bAxbxA JG ???? 1?? ???優(yōu)點(diǎn) ： 缺點(diǎn) ： 約當(dāng)消去法。計(jì)算量較大，大約是 )2/( 3nO因此，可以用來(lái)求逆矩陣。 缺點(diǎn)： 既消元；又回代 。 回代計(jì)算解： ??????????123xxx高斯選主元消去法的步驟： ??????????????2226][ bA?，注 ： 該解若取兩位有效數(shù)字 ， 則與真解完全相同 。 167。 ? ? 標(biāo)度化列主元消去法 /* Scaled Partial Pivoting */ 對(duì)每一行計(jì)算 。且此時(shí) 1?kim列主元消去法， 設(shè)已完成第 1步 ~第 k1步計(jì)算 ， 得到與原方程 組 等價(jià)的方程組 ，其中)()( kk bxA ?? ??????????????????????)()()()()()()2(2)2(2)2(22)1(1)1(1)1(12)1(11)()(],[nnknnknkkknknkkknnkkbaabaabaabaaabA?????????方框內(nèi)為第 k步選主元素區(qū)域 。列與第第交換時(shí)當(dāng) kkkk jkbAkj ),(, )()( ???ija),1( nkibmb kiki ???? 二 回代求解 ： 調(diào)換后的次序。元素仍記為且兩未知量，并作記錄， iij babA , ?使, 11 ji選主元：)1(行元素，行與第第交換時(shí)即當(dāng)交換行列 11 1),(,1,)2( ibAi ??（ 3） 消元計(jì)算： ，),3,2(1111 niaam ii ???，),3,2(1111 niama ii ??? ?ib列元素。 例子說(shuō)明 ， 在采用高斯消去法解方程組時(shí) ， 應(yīng) 。 精確到 10位真解： Tx )7 0 0 0 0 0 0 0 0 ,2 0 0 0 0 0 0 0 0 (* ??????? ?? ?),( 11bA ?解法 1（ 高斯消去法 ） 消元： 121121103 3 3 3 3 3 3 3 3 1???? ?m ???1舍去或著說(shuō)被 “ 吃 ” 舍去或著說(shuō)被 “ 吃 ” 12103 3 3 3 3 3 3 3 3 ????????? ?? ?0 1112103 3 3 3 3 3 3 3 3 ?? 12102 3 3 3 3 3 3 3 3 ??計(jì)算解： 。個(gè)方程）第個(gè)方程）做（第解3,21(i11/1/21/2/01,3111313111212111??????????????????imaamaamani1,1,11131263261)123()23(13/3333263211/1/,01032632321321323332321)1(22)1(3232)1(223232321????????????????????????????????????????????????????????????????xxxxxxxxxxxxxxxaamaxxxxxxx故說(shuō)求解為回代求得完成第二步消元得 例 1:考慮如下線性方程組的 Gauss消元法 求解性 2x2=1 2x1+3x2=2 解 :因?yàn)?a11= 0 ,故此題不能用 Gauss消元法求解 ,但交換方程組的順序后 ,就可 用 Gauss消元法求解了 . 選主元素的必要性 。 iiiiiaaaaA. ... ... ... ... ..)d e t (1111?注 ： 事實(shí)上，只要 A 非奇異，即 A?1 存在，則可通過(guò)逐次消元及行交換，將方程組化為三角形方程組，求出唯一解。 (一 ) 高斯消去法的求解過(guò)程 ,可大致分為兩個(gè)階段 :首先 ,把原方程組化為上三角形方程組 ,稱之為 “ 消去 ” 過(guò)程 。 1 Gaussian Elimination – The Method 消元 記 ,)( )1()1( nnijaAA ???????????????)1()1(1)1(...nbbbb??Step 1： 設(shè) ，計(jì)算因子 0)1(11 ?a ).. .,2(/ )1(11)1( 11 niaam ii ??將增廣矩陣 /* augmented matrix */ 第 i 行 ? mi1 ? 第 1行 ，得到 )1(1)1(1)1(12)1(11 .. . baaa n)2(A )2(b? ).. .,2,()1(11)1()2()1(11)1()2(njibmbbamaaiiijiijij????????其中 Step k： 設(shè) ，計(jì)算因子 且計(jì)算 0)( ?kkka ). .. ,1(/ )()( nkiaam kkkkikik ???). .. ,1,()()()1()()()1(nkjibmbbamaakkikkikikkjikkijkij???????????共進(jìn)行 ？ 步 n ? 1 ?????????????????????????????????????????)()2(2)1(121)()2(2)2(22)1(1)1(12)1(11.......... . .. . .. . .nnnnnnnnbbbxxxaaaaaa回代 )()( / nnnnnn abx ?0)( ?nnnaWhat if ? No unique solution exists. )1. .. ,1()( 1)()(??????? niaxabx iiinijjiijiii0)( ?iiiaWhat if ? Then we must find the smallest integer k ? i with , and interchange the kth row with the ith row. 0)( ?ikiaWhat if we can’t find such k ? No unique solution exists. 定理 若 A的所有 順序主子式 /* determinant of leading principal submatrices */ 均不為 0，則高斯消元無(wú)需換行即可進(jìn)行到底，得到唯一解。為具體認(rèn)識(shí)這種方法，完成第一步消元得。 1 Gaussian Elimination – Pivoting Strategies 例題 3:討論下面方程組的解法 +x2=1 x1+x2=2 假設(shè) 求解是在四位浮點(diǎn)十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行 ?103 x1 + ?101 x2 = ?101 ?101 x1 + ?101 x2 = ?101 解 :本題的計(jì)算機(jī)機(jī)內(nèi)形式為 因?yàn)?a11 =?0,故可用 Gauss消元法求解 ,進(jìn)行第一次消元時(shí)有 a22(1)= ?101