[工學(xué)]微積分基本公式-全文預(yù)覽
【正文】 ) ( ) ( ) , ( )xx x t f t dt f t x?? ????設(shè) 且 連 續(xù) ， 求 （ ）例 2 解 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 0x x x f x x? ? ? ? ? ?202( ) ( ) ( )xx x t f t dt? ???解 20022( ) ( )xxx f t dt t f t dt??20022( ) ( )xxx f t dt t f t dt????2202( ) 2 ( ) ( ) 2xx x f t dt x f x x? ? ???22( ) 2x f x x?022 ( )xx f t d t? ?25 例 3 求 .l i m 21co s02xdtextx? ??解 ? ?1c o s2xt dtedxd ,c o s12? ??? x t dtedxd)( co s2c o s ???? ? xe x ,si n 2c o s xex ???21cos02lim xdtextx? ?? xex xx 2si nlim 2c o s0???? .21e?00分析： 這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則 . 26 例 4 設(shè) )( xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，且 0)( ?xf .證明函數(shù)???xxdttfdtttfxF00)()()(在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 證 ? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? ? x dttfdxd 0 )( ),( xf?? ? 2000)()()()()()(??? ???xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF27 ? ?,)()()()()( 200?? ???xxdttfdttftxxfxF)0(,0)( ?? xxf? ,0)(0? ?? x dttf,0)()( ?? tftx? ,0)()(0? ??? x dttftx).0(0)( ???? xxF故 )( xF 在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) .28 例 5 設(shè) )( xf 在 ]1,0[ 上連續(xù)，且 1)( ?xf . 證明 1)(20 ?? ? dttfxx在 ]1,0[ 上只有一個解 . 證 ,1)(2)(0 ??? ? dttfxxFx,0)(2)( ????? xfxF,1)( ?xf?)( xF 在 ]1,0[ 上為單調(diào)增加函數(shù) .,01)0( ???F??? 10 )(1)1( dttfF ? ?? 10 )](1[ dttf,0?所以 0)( ?xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一個解 .令 29 定理 2（ 原函數(shù)存在定理 ） 如果 )( xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) dttfxxa??? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一個原函數(shù) .定理的重要意義： （ 1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 . （ 2）初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系 . 30 定理 3（微積分基本公式） 如果 )( xF 是連續(xù)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上的一個原函數(shù)，則 )()()( aFbFdxxfba??? .又 ? dttfx xa??? )()( 也是 )( xf 的一個原函數(shù) ,? 已知 )( xF 是 )( xf 的一個原函數(shù)，CxxF ???? )()( ],[ bax ?證 三、牛頓 — 萊布尼茨公式 31 令 ax ? ,)()( CaaF ????0)()( ??? ? dttfa aa? ,)( CaF ??),()()( aFxFdttfxa ??? ?,)()( CdttfxF xa ?? ??令 ?? bx ).()()( aFbFdxxfba ???
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