高等數(shù)學(xué)不定積分例題、思路和答案(超全)-全文預(yù)覽
【正文】 )思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(19)思路：分項后對第一個積分分部積分。解：★★(15)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解： ★★(11)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解： ★★(7)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★（3）思路：同上題。思路分析：嚴(yán)格按照“‘反、對、冪、三、指’順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號下湊微分。思路:求出的不定積分，由條件確定出常數(shù) 的值即可?！铩铩铩?5)思路:先令，進行第一次換元；然后令，進行第二次換元。 （時，）★★★(3) 思路:令，三角換元。★★★(1)思路:令，先進行三角換元，分項后，再用三角函數(shù)的升降冪公式。知識點：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習(xí)?！铩铩铩?35)解：方法一: 思路：分項后湊積分。方法二：思路:分項后湊微分 方法三：思路: 將被積函數(shù)的分子分母同時乘以 ，裂項后湊微分。解：★★(28)思路:湊微分。解：★★(24)思路:降冪后分項湊微分。解：★(20)思路:分項后分別湊微分即可。解：★(16)思路:湊微分。解：★(12)思路:湊微分。解：方法一：倍角公式。解：★★(6)思路:如果你能看到，湊出易解。解：★(2)思路:湊微分。知識點：（湊微分）第一換元積分法的練習(xí)。習(xí)題42★填空是下列等式成立。解：設(shè)曲線方程為，由題意可知：，；又點在曲線上，適合方程，有，所以曲線的方程為★★一物體由靜止開始運動，經(jīng)秒后的速度是，問：（1） 在秒后物體離開出發(fā)點的距離是多少？（2） 物體走完米需要多少時間？知識點：屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：只需驗證即可。知識點：仍為考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。解：★設(shè)，求。解：★(17)思路:不難，關(guān)鍵知道“”。解：★★(13)思路:應(yīng)用三角恒等式“”。解：★★(9)思路:？看到，直接積分。解：注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。 解：★(3)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。從這種意義上講，不定積分在整個積分學(xué)理論中起到了根基的作用，積分的問題會不會求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對這一章掌握的好壞。故不定積分的表達式不唯一。的全部原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分，記為注：（1）若連續(xù)，則必可積；（2）若均為的原函數(shù)，則。本章的地位與作用在下一章定積分中由微積分基本公式可知求定積分的問題，實質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問題；后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最終的解決都歸結(jié)為對定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。解：★(2)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。解：★★(6)思路:注意到，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項，分別積分。解：★(8)思路:分項積分。顯然。解：★★(16)思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降冪公式，先升冪再積分。解：★★(20)思路:注意到被積函數(shù) ，則積分易得。解：等式兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：★設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，求的原函數(shù)全體?！镒C明函數(shù)和都是的原函數(shù)知識點：考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。(1) 秒后物體離開出發(fā)點的距離為:米；(2)令秒。解：求下列不定積分。此外第二類換元法中的倒代換法對特定的題目也非常有效，這在課外例題中專門介紹！★（1）思路:湊微分。解：★(5)思路:湊微分。解：★★(9)思路:本題關(guān)鍵是能夠看到 是什么，是什么呢？就是！這有一定難度！解：★★(10)思路:湊微分。 ★★(11)思路:湊微分：。解：★★(15)思路:湊微分。解：★★(19) 思路:裂項分項后分別湊微分即可。解：★(23)思路:湊微分。解：★★★(27)思路:湊微分。解：★★★★(31)思路:被積函數(shù)中間變量為，故須在微分中湊出，即被積函數(shù)中湊出，解：★★★★(32)思路:解：★★★★(33)解：方法一：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時除以 ，則湊微分易得。令，則。求下列不定積分。不妨將角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角范圍內(nèi)，得出新變量的表達式，再形式化地換回原變量即可。解：令，則。解：令，則?！铩锴笠粋€函數(shù),滿足，且。證明：習(xí)題43 求下列不定積分：知識點：基本的分部積分法的練習(xí)。解：★★（2）思路：同上題。解： ★(6)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解： ★★(10)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(14)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(18)思路：先將降冪得，然后分項積分；第二個積分嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解： ★★★(2
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