【正文】 30.【 2022 高考真題四川理 19】 (本小題滿分 12 分 ) 如圖，在三棱錐 P ABC? 中， 90APB??， 60PAB??， AB BC CA??，平面PAB? 平面 ABC 。 又 ∵ AD? 平面 1, ADE AF? 平面 ADE ， ∴ 直線 1 //AF 平面 ADE 【考點(diǎn)】 直線與平面、平面與平面 的位置關(guān)系。 （ 2） ∵ 1 1 1 1AB AC? ， F 為 11BC 的中點(diǎn)， ∴ 1 1 1AF BC? 。 16 設(shè) (0, ,0)N ? ，則 1( , 1, 0)2EN ?? ? ?. 因?yàn)?EN BM? 等價于 0EN BM??， 即 11( , 1 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 ) 1 022??? ? ? ? ? ? ? ?， 故 12?? ， 1(0, , 0)2N . 所以當(dāng) 12DN?（ 即 N 是 CD 的 靠近點(diǎn) D 的 一個四等分點(diǎn) ）時 ， EN BM? ． 設(shè)平面 BMN 的 一個 法 向量 為 ( , , )x y z?n ，由 ,BNBM? ??????nn 及 1( 1, ,0)2BN ??， 得 2,.yxzx??? ??? 可 取 (1, 2, 1)??n ． 設(shè) EN 與平面 BMN 所成角的大小為 ? ，則由 11( , , 0)22EN ? ? ?， (1, 2, 1)??n ，可得 1| 1 | 32sin c o s( 9 0 )2| | | | 262ENEN?????? ? ? ? ?? ?nn，即 60?? ． 故EN 與平面 BMN 所成角的大小為 60. 解法 2： 由（ Ⅰ ）知，當(dāng)三棱錐 A BCD? 的體積最大時， 1BD? ， 2AD CD??． 如圖 b， 取 CD 的中點(diǎn) F ，連結(jié) MF ， BF ， EF ，則 MF ∥ AD . 由（ Ⅰ ）知 AD? 平面 BCD ， 所以 MF? 平面 BCD . 如圖 c，延長 FE 至 P 點(diǎn)使得 FP DB? ，連 BP ， DP ，則四邊形 DBPF 為正方形， 所以 DP BF? . 取 DF 的中點(diǎn) N ， 連結(jié) EN ， 又 E 為 FP 的中點(diǎn)，則 EN ∥ DP ， 所以 EN BF? . 因?yàn)?MF? 平面 BCD ， 又 EN? 面 BCD ，所以 MF EN? . 又 MF BF F? ， 所以 EN? 面 BMF . 又 BM? 面 BMF ，所以 EN BM? . 因?yàn)?EN BM? 當(dāng)且僅當(dāng) EN BF? ，而點(diǎn) F 是唯一的，所以點(diǎn) N 是唯一的 . 即 當(dāng) 12DN?（ 即 N 是 CD 的 靠近點(diǎn) D 的 一個四等分點(diǎn) ） ， EN BM? ． C A D B 圖 a E M x y z 圖 b C A D B E F M N 圖 c B D P C F N E B G M N E H 圖 d 第 19 題解答圖 N 17 連接 MN ， ME ，由計算得 52N B N M E B E M? ? ? ?， 所以 △ NMB 與 △ EMB 是兩個共底邊的 全等的 等腰三角形， 如圖 d 所示， 取 BM 的中點(diǎn) G ，連接 EG ， NG ， 則 BM? 平面 EGN ． 在平面 EGN 中，過點(diǎn) E 作 EH GN? 于 H ， 則 EH? 平面 BMN ． 故 ENH? 是 EN 與平面 BMN 所成的角． 在 △ EGN 中，易得 22E G G N N E? ? ?，所以 △ EGN 是正三角形， 故 60ENH??，即 EN 與平面 BMN 所成角的大小為 60. 28.【 2022 高考真題新課標(biāo)理 19】 （本小題滿分 12 分） 如圖，直三棱柱 1 1 1ABC A B C? 中，112AC BC AA??， D 是棱 1AA 的中點(diǎn)， BDDC ?1 （ 1）證明： BCDC ?1 （ 2） 求二面角 11 CBDA ?? 的大小 . 【答案】 （ 1）在 Rt DAC? 中， AD AC? 得： 45ADC ??? 同理： 1 1 14 5 9 0A D C CD C??? ? ? ? ? 得： 1 1 1,D C D C D C B D D C? ? ? ?面 1BCD DC BC?? （ 2） 11,D C B C CC B C B C? ? ? ?面 11AC C A BC AC?? 取 11AB 的中點(diǎn) O ，過點(diǎn) O 作 OH BD? 于點(diǎn) H ，連接 11,COCH 1 1 1 1 1 1 1A C B C C O A B? ? ?，面 1 1ABC? 面 1ABD 1CO??面 1ABD 1O H B D C H B D? ? ? 得：點(diǎn) H 與點(diǎn) D 重合 18 且 1CDO? 是二面角 11 CBDA ?? 的平面角 設(shè) AC a? ，則1 22aCO?， 1 1 12 2 30C D a C O C D O ?? ? ? ? ? 既二面角 11 CBDA ?? 的大小為 30? 29.【 2022高考江蘇 16】 （ 14分） 如圖，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1 1 1 1AB AC? ， DE， 分別是棱 1BC CC， 上的點(diǎn)（點(diǎn) D 不同于點(diǎn) C ），且 AD DE F? ， 為 11BC 的中點(diǎn)． 求證：（ 1）平面 ADE? 平面 11BCCB ； （ 2）直線 1 //AF 平面 ADE ． 【答案】 證明：（ 1） ∵ 1 1 1ABC ABC? 是直三棱柱， ∴ 1CC? 平面 ABC 。 (Ⅱ )若二面角 /A MN C??為直二面角，求 ? 的值。 【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為 4 的直四棱柱 ， 幾何體的表面積是 2212 ( 2 5 ) 4 ( 2 5 4 4 ( 5 2 ) ) 4 9 22S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． 23.【 2022 高考真題天津理 10】 一個幾何體的三視圖如圖所示（單位： m），則該幾何體的體積為 _________m3. 31363223側(cè)視圖俯視圖正視圖 【答案】 ?918? 【解析】 根據(jù)三視圖可知，這是一個上面為長方體，下面有兩個直徑為 3 的球構(gòu)成的組合體，兩個球的體積為 ?? 9)23(342 3 ??? ，長方體的體積為 18631 ??? ，所以該幾何體的體積為 ?918? 。 【考點(diǎn)】 正方形的性質(zhì)， 棱錐的體積。 【答案】 132 22 ?? cac 。已知球的半徑為 3 ，所以正方體的棱長為 2，可求得正三棱錐 P? ABC 在面 ABC 上的高為 233 ，所以球心到截面 ABC 的距離為 2 3 33 33?? 【點(diǎn)評】 本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強(qiáng)，難度較大。 17.【 2022 高考真題山東理 14】 如圖，正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? 的棱長為 1， ,EF分別為線段 11,AA BC 上 的 點(diǎn) ， 則 三 棱 錐 1D EDF? 的 體 積 為____________. 【答案】 61 【解析】法一：因?yàn)?E 點(diǎn)在線段 1AA 上，所以 2111211 ?????D E DS，又因?yàn)?F 點(diǎn)在線段 CB1上，所以點(diǎn) F 到平面 1DED 的距離為 1, 即 1?h ，所以611213131 111 ???????? ??? hSVV D E DD E DFE D FD . 9 法二：使用特殊點(diǎn)的位置進(jìn)行求解，不失一般性令 E 點(diǎn)在 A 點(diǎn)處， F 點(diǎn)在 C 點(diǎn)處，則61111213131 111 ?????????? ??? DDSVV A D CA D CDE D FD 。 13.【 2022 高考真題全國卷理 4】 已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中 ， AB=2， CC1=22 E 為CC1 的中點(diǎn)，則直線 AC1與平 面 BED 的距離為 A 2 B 3 C 2 D 1 【答案】 D 【解析】連結(jié) BDAC, 交于點(diǎn) O ，連結(jié) OE ，因?yàn)?EO, 是中點(diǎn)，所以 1//ACOE ,且121 ACOE?，所以 BDEAC //1 ，即直線 1AC 與平面 BED 的距離等于點(diǎn) C 到平面 BED 的距離，過 C 做 OECF? 于 F ,則 CF 即為所求距離 .因?yàn)榈酌孢呴L為 2，高為 22 ， 所以22?AC , 2,2 ?? CEOC , 2?OE , 所以利用等積法得 1?CF ，選 D. 7 二 、 填空題 14.【 2022 高考真題浙江理 11】 已知