【正文】 s )的節(jié)點方程，即 37 1412 828)()414412 1( C ??????? sssUss 解得 222C )2( 837)44( )75(4)( ?????? ??? s sssss sssU 可得 )0(e)(27)( 2C ???? ? tttu t 511 設有 )()(e)( 3 ttty t ?? ??? ? 試用卷積定理求 y( t )。 解 對方程取拉氏變換，得系統(tǒng)函數 )3)(2( 3653)( 2 ?????? sssssH 當 f( t ) = ?( t )時， F( s ) =1，得 )3)(2( 3)()( ???? sssHsY 從而 0,e3e3)( 32 ??? ?? tth tt 當 f( t ) = ?( t )時， ssF 1)( ? ，得 )3)(2( 3)(1)( ???? ssssHssY ?????? sss 故得 0,)()( 32 ????? ?? ttsty tt 58 試求題 58圖示電路中的電壓 u( t )。 (1) 65 1)(2 ?? ?? ss ssF (2) )1( 22)( 22???? ss sssF (3) 231)(2 ??? sssF 32 (4) 2)2( 4)( ?? sssF 解 (1) 32)3)(2( 165 1)( 212 ?????? ???? ?? s ks kss sss ssF 1)()2( 21 ???? ??ssFsk 2)()3( 32 ??? ??ssFsk 故有 3221)( ????? sssF 所以 )()e2e()( 32 ttf tt ??? ??? (2) 1)1( 22)( 222????? ??? s CBssAss sssF 可得 2)( 0 ?? ?ssFsA 又 CsBsAAsss ?????? 222 22 可得 B = 0， C = 1 112)( 2 ??? sssF 所以 )()sin2()( tttf ??? (3) 21)2)(1( 1231)( 212 ?????????? s ks ksssssF 1)()1( 11 ??? ??ssFsk 1)()2( 22 ???? ??ssFsk 故有 2111)( ????? sssF 故 )()ee()( 2 ttf tt ??? ?? 33 (4) 2)2()2( 4)( 1221112 ??????? s ks ksksssF 故 1)( 01 ?? ?ssFsk 24)()2( 22211 ????? ???? ss ssFsk 1)4(dd)]()2[(dd 22212 ????? ???? ss sssFssk 故有 2)2( 2211)( ?????? ssssF 所以 )()e2e1()( 22 tttf tt ??? ??? 55 求下列象函數的拉氏反變換。 30 第 5 章 習題解析 51 求下列函數的單邊拉氏變換。進而得響應的頻譜為 )()()( 23 ??? jHFY ?? 其結果僅截取 ?20 ? 20的部分。 題 48圖 X(?) F(?) F(?) 26 題 48圖 解 由調制定理知 )]()([21)(c os)()( CC1C1 ?????? ?????? FFFttftf 而 x(t)的頻譜 )()()( 11 ??? jHFX ?? 又因為 )]()([21)(c os)()( CC2C2 ?????? ?????? XXFttxtf 所以 )()()( 22 ??? jHFY ?? 它們的頻譜變化分別如圖 p48所示，設 ?C ?2。 25 題 47圖 解 因為調幅信號 x( t ) = Acos?0t + mA f( t )cos?0t 故其變換 )]()([2)]()([π)( 0000 ??????????? ???????? FFmAAX 式中， F(? )為 f( t )的頻譜。 解 由尺度特性，有 )3(31)3( ?Ftf ? 即 f( 3t )的帶寬比 f( t )增加了 3倍，即 ?? = 3?m。 題 41圖 解 因為 RC電路的頻率響應為 1j 1)j( ?? ??H 而響應 u2( t ) = u1( t ) * h( t ) 故由卷積定理，得 U2(? ) = U1(? ) * H( j? ) 而已知 )e1(j1)( j1 ??? ???U，故 )e1(j11j 1)( j2 ???? ?????U 反變換得 )1(]e1[)()e1()( )1(2 ????? ??? tttu tt ?? 42 一濾波器的頻率特性如題圖 42所示，當輸入為所示的 f( t )信號時，求相應的輸出y( t )。 解 設 f1( t ) ? F1(?)，由調制定理 )()]π4()π4([21π4c os)( 111 ??? FFFttf ????? 而 )(Sa2)2(Sa)(1 ????? ??F 故 )π4(Sa)π4(Sa)( ???? ???F 311 設有如下信號 f( t )，分別求其頻譜函數。 (1) ttf 2e)( ?? (2) )(s ine)( 0 tttf at ?? ?? ? 解 (1) ??? ? ???? ???? ? ??? 0 j20 j2j deedeede)()( ttttfF ttttt ???? 24 4j2 1j2 1 ??? ?????? (2) ?? ? ?????? ? ???? 0 jjjj d)ee(e2j1ede)()( 00 tttfF tttatt ????? ?? ????? ???? 0 )j(j)j(j ]deee[e2j1 00 ttattat ???? ?????? ?????? 00 j)j( 1j)j( 12j1 ?????? 22022000 )j()j(j22j1 ??? ???? ? ??????? 36 對于如題 36圖所示的三角波信號，試證明其頻譜函數為 18 )2(Sa)( 2 ???? AF ? 題 36圖 證 因為 ?? ?? ttA ),1( 0， | t | ? 則 ? ?? ? ??? 0 dc os)1(2)( tttAF )c os1(22 ???? ?? A )2(sin4 22 ???? A? )2(Sa 2 ???A? 37 試求信號 f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t的傅里葉變換。 題 31圖 解 對于周期鋸齒波信號，在周期 ( 0， T )內可表示為 tTAtf ?)( 系數 2d1d)(1 000 AtTAtTttfTa TT ??? ?? ?? ??? TT ttntT AttntfTa 0 120 1n dc os2dc os)(2 ?? 0s i n20112 ?????????? Tn tntTA ?? ?? ??? TT ttntT AttntfT Ab 0 120 1n ds i n2ds i n)(2 ?? πc o s2 01 12 nAn tntT AT ???????????? ? 所以三角級數為 ????? 1 1s inπ2)( n tnnAAtf ? 32 求周期沖激序列信號 ????? ?? n nTtt )()(T ?? 的指數形式的傅里葉級數表示式，它是否具有收斂性？ 解 沖激串信號的復系數為 16 所以 ?????? n tnTt 1jT e1)( ?? 因 Fn為常數，故無收斂性。 214 如圖系統(tǒng)，已知 R1 = R2 =1?， L = 1H， C = 1F。 (b)根據 ? ( t )的特點，則 f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[? ( t ) + ? ( t ? 2 ) + ? ( t + 2 )] = f1( t ) + f1( t ? 2 ) + f1( t + 2 ) 結果見圖 p210(b)所示。因為 ?( t ) * ?( t ) = t?( t ) f1( t ? t1 ) * f2( t ? t2 ) = f( t ?t1 ?t2 ) 10 故對本題，有 ?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) = ( t + 3 ? 5 )?( t + 3 ? 5 ) = ( t ? 2 )?( t ? 2 ) 兩種方法結果一致。 題 26圖 解 (a) 20,21 ??t f? ( t ) = ?( t ? 2 )， t = 2 ?2?( t ? 4 )， t = 4 (b) f? ( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) ? 2?( t ? 3 ) + 2?( t ? 4 ) 8 圖 p26 27 如題 27 圖一階系統(tǒng)，對 (a)求沖激響應 i 和 uL，對 (b)求沖激響應 uC和 iC，并畫出它們的波形。 (a) f( t ) = 2?( t ?1 ) ? 2?( t ?2 ) (b) f( t ) = sin?t[?( t ) ? ?( t ?6 )] 解 (a)和 (b)的波形如圖 p23所示。 18 若有線性時不變系統(tǒng)的方程為 )()()( tftayty ??? 若在非零 f( t )作用下其響應 tty ??? e1)( ，試求方程 )()(2)()( tftftayty ????? 的響應。 17 試證明方程 )()()( tftayty ??? 所描述的系統(tǒng)為線性系 統(tǒng)。 題 14圖 解 系統(tǒng)為反饋聯接形式。 [提示： f( 2t )表示將 f( t )波形壓縮， f(2t )表示將 f( t )波形展寬。 12 給定題 12圖示信號 f( t )，試畫出下列信號的波形。 題 13圖 解 各系統(tǒng)響應與輸入的關系可分別表示為 )()( tiRtu RR ?? ； t tiLtu LL d )(d)( ? ； ? ??? t CC iCtu ?? d)(1)( 14 如題 14圖示系統(tǒng)由加法器、積分器和放大量為 ?a的放大器三個子系統(tǒng)組成，系統(tǒng)屬于何種聯接形式？試寫出該系統(tǒng)的微分方程。 (1) ??? t fttfty0 d)(d )(d)( ??(2) )()(3)()( tftytyty ??????? (3) )(3)()(2 tftytyt ??? (4) )()()]([ 2 tftyty ??? 解 (1)線性； (2)線性時不變； (3)線性時變； (4)非線性時不變。故系統(tǒng)為線性的。 解 由特征方程 ?2 + 4? + 4 =0 得 ?1 = ?2 = ?2 則零輸入響應形式為 tetAAty 221zi )()( ??? 由于 6 yzi( 0+ ) = A1 = 1 ?2A1 + A2 = 2 所以 A2 = 4 故有 0,)41()( 2zi ??? ? tetty t 23 設有如下函數 f( t )，試分別畫出它們的波形。 (1) t?( t ? 1 ) (2) ???? ? ttt d)1(? (3) ??? ?0 d)()3πc os ( ttt ?? (4) ? ?? ??00 3 d)(e ttt? 解 (1) t?( t ? 1 ) = ?( t ? 1 ) (2) 1d)1(d)1( ???? ?? ?????? ttttt ?? (3) 21d)()3πc os (d)()3πc os (00 ???? ????