【文章內(nèi)容簡介】 ???? j1)(π)( ??t 由頻域卷積定理 ?????? ?????? ]j 1)(π[)]()([πjπ2 1)( 00 ?????????? AF 202 000 )]()([2 πj ?? ??????? ?????? AA 310 設有信號 f1( t ) = cos4?t ??t,1 ??t,0 試求 f1( t ) f2( t )的頻譜函數(shù)。 解 設 f1( t ) ? F1(?)，由調(diào)制定理 )()]π4()π4([21π4c os)( 111 ??? FFFttf ????? 而 )(Sa2)2(Sa)(1 ????? ??F 故 )π4(Sa)π4(Sa)( ???? ???F 311 設有如下信號 f( t )，分別求其頻譜函數(shù)。 (1) )(e)( )4j3( ttf t ??? ?? (2) )2()()( ??? tttf ?? 解 (1) 因 ??? j1e ???t 故 )4j(3 1j)4j3( 1e )4j3( ?? ???????? t f2( t ) = 21 (2) 因 2),1()()2()( τ ????? ???? ttGtt 故 ?? ????? jj e)(Sa2e)2(Sa)( ?? ??F 312 設信 號 40,2 ?? t 其他,0 試求 f2( t ) = f1( t )cos50t的頻譜函數(shù)，并大致畫出其幅度頻譜。 解 因 ?? ????? j2j2 e)2(Sa8e)2(Sa2)( ?? ??F 故 )]50()50([21)( 112 ???? ??? FFF )50j 2 ()50j 2 ( e)]50(S a [ 24e)]50(S a [ 24 ???? ???? ?? ?? 幅度頻譜見圖 p312。 圖 p312 f1( t ) = 50 50 | F2(?) | 22 第 4 章 習題解析 41 如題 41圖示 RC系統(tǒng)，輸入為方波 u1( t )，試用卷積定理求響應 u2( t )。 題 41圖 解 因為 RC電路的頻率響應為 1j 1)j( ?? ??H 而響應 u2( t ) = u1( t ) * h( t ) 故由卷積定理，得 U2(? ) = U1(? ) * H( j? ) 而已知 )e1(j1)( j1 ??? ???U，故 )e1(j11j 1)( j2 ???? ?????U 反變換得 )1(]e1[)()e1()( )1(2 ????? ??? tttu tt ?? 42 一濾波器的頻率特性如題圖 42所示，當輸入為所示的 f( t )信號時，求相應的輸出y( t )。 題 42圖 23 解 因為輸入 f( t )為周期沖激信號，故 π2π2,11 1n ???? TTF ? 所以 f( t )的頻譜 ?? ???????? ???? nn nnFF )π2(π2)(π2)( 1n ?????? 當 n = 0， ?1， ?2時，對應 H( j? )才有輸出，故 Y(? ) = F(? ) H( j? ) = 2?[2?(?) + ?(? ? 2?) + ?(? + 2?)] 反變換得 y( t ) = 2( 1 + cos2?t ) 43 設系統(tǒng)的頻率特性為 2j 2)j( ?? ??H 試用頻域法求系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應。 解 沖激響應，故 )(e2)]j([)( 21 tHth t ?? ??? ??F 而階躍響應頻域函數(shù)應為 2j 2]j 1)(π[)j()]([)( ?????? ??????? HtS F 2j 2j1)(π ???? ???? 2j 1j1)(π ???? ???? 所以階躍響應 )()e1()( 2 tts t ???? ? 44 如題圖 44所示是一個實際的信號加工系統(tǒng)，試寫出系統(tǒng)的頻率特性 H( j? )。 題 44圖 24 解 由圖可知輸出 ? ??? t tttftfty 0 0 d)]()([)( 取上式的傅氏變換，得 )e1(j )()( 0j tFY ???? ??? 故頻率特性 )e1(j1)( )()j( 0j tFYH ????? ???? 45 設信號 f( t )為包含 0 ~ ?m分量的頻帶有限信號，試確定 f( 3t )的奈奎斯特采樣頻率。 解 由尺度特性，有 )3(31)3( ?Ftf ? 即 f( 3t )的帶寬比 f( t )增加了 3倍，即 ?? = 3?m。從而最低的抽樣頻率 ?s = 6?m 。故采樣周期和采樣頻率分別為 mS 61fT ? mS 6ff ? 46 若電視信號占有的頻帶為 0 ~ 6MHz，電視臺每秒發(fā)送 25幅圖像，每幅圖像又分為625條水平掃描線，問每條水平線至少要有多少個采樣點？ 解 設采樣點數(shù)為 x，則最低采樣頻率應為 xf ??? 625252 m 所以 76862525 106262525 2 6m ??????? fx 47 設 f( t )為調(diào)制信號，其頻譜 F( ? )如題圖 47所示， cos?0t為高頻載波，則廣播發(fā)射的調(diào)幅信號 x( t )可表示為 x( t ) = A[ 1 + m f( t )] cos?0t 式中， m為調(diào)制系數(shù)。試求 x( t )的頻譜，并大致畫出其圖形。 25 題 47圖 解 因為調(diào)幅信號 x( t ) = Acos?0t + mA f( t )cos?0t 故其變換 )]()([2)]()([π)( 0000 ??????????? ???????? FFmAAX 式中， F(? )為 f( t )的頻譜。 x( t )的頻譜圖如圖 p47所示。 圖 p47 48 題 48 圖所示 (a)和 (b)分別為單邊帶通信中幅度調(diào)制與解調(diào)系統(tǒng)。已知輸入 f(t)的頻譜和頻率特性 H1( j? )、 H2( j? )如圖所示，試畫出 x(t)和 y(t)的頻譜圖。 題 48圖 X(?) F(?) F(?) 26 題 48圖 解 由調(diào)制定理知 )]()([21)(c os)()( CC1C1 ?????? ?????? FFFttftf 而 x(t)的頻譜 )()()( 11 ??? jHFX ?? 又因為 )]()([21)(c os)()( CC2C2 ?????? ?????? XXFttxtf 所以 )()()( 22 ??? jHFY ?? 它們的頻譜變化分別如圖 p48所示，設 ?C ?2。 圖 p48 49 如題 49圖所示系統(tǒng)，設輸入信號 f(t)的頻譜 F(? )和系統(tǒng)特性 H1( j? )、 H2( j? )均F1(?) F2(?) X(?) Y(?) 27 給定，試畫出 y(t)的頻譜。 題 49圖 解 設 ttftf 50cos)()(1 ? ，故由調(diào)制定理，得 )]50()50([21)(1 ???? ??? FFF 從而 )()()()( 1122 ??? FHFtf ??? 它僅在 | ? | = ( 30 ~ 50 )內(nèi)有值。再設 ttftf 30co s)()( 23 ? 則 )]30()30([21)( 223 ???? ??? FFF 即 F3(? )是 F2(? )的再頻移。進而得響應的頻譜為 )()()( 23 ??? jHFY ?? 其結果僅截取 ?20 ? 20的部分。以上過程的頻譜變化如圖 p49所示。 F(?) H1(j?) H2(j?) 28 圖 p49 410 設信號 f(t)的頻譜 F(? )如題 410圖 (a)所示，當該信號通過圖 (b)系統(tǒng)后，證明 y(t)恢復為 f(t)。 題 410圖 證明 因為 )2(e)( 112j 1 ??? ?? Ftf t F2(?) F3(?) Y(?) F1(?) F(?) j2?1t 29 故通過高通濾波器后，頻譜 F1(? )為 )2()2()j()( 111 ?????? ???? FFHF 所以輸出 )()22()()( 11 ????? FFYty ????? 即 y(t)包含了 f(t)的全部信息 F(? )，故恢復了 f(t)。 30 第 5 章 習題解析 51 求下列函數(shù)的單邊拉氏變換。 (1) t??e2 (2) tt 3e)( ??? (3) tt cose 2? 解 (1) )1( 2112de)e2()( 0 ???????? ? ? ?? ss ssstsF stt (2) 311de]e)([)(0 3 ????? ?? ??? sttsFstt? (3) ?? ? ???? ?? ????0 2jj0 2 dee)e(e21de)c os(e)( tttsF sttttstt 1)2( 2j21j2121 2 ?? ?????????? ?????? s sss 52 求下列題 52圖示各信號的拉氏變換。 題 52圖 解 (a) 因為 )()()( 01 ttttf ??? ?? 而0e1)(1)( 0 ststtst ???? ?? ， 故 )e1(1)( 01 ststf ??? (b) 因為 )()()]()([)(00000 tttttttttttttf ?????? ???? 1 f2( t ) f1( t ) t0 t 1 (b) 31 又因為0201)( tsttt ?? 0s0200 )11()( tetsstttt ????? 故有 0s02022 e)11(1)( ttsststf ???? 00 ss02 e1)e1(1 tt sts ?? ??? 53 利用微積分性質(zhì)，求題 53所示信號的拉氏變換。 題 53圖 解 先對 f( t )求導，則 )4()3(2)1(2)()( ???????? tttttf ???? 故對應的變換 )ee2e21(1)( 431 sssssF ??? ???? 所以 2431 ee2e21)()( ss sFsF sss ??? ????? 54 用部分分式法求下列象函數(shù)的拉氏反變換。 (1) 65 1)(2 ?? ?? ss ssF (2) )1( 22)( 22???? ss sssF (3) 231)(2 ??? sssF 32 (4) 2)2( 4)( ?? sssF 解 (1) 32)3)(2( 165 1)( 212 ?????? ???? ?? s ks kss sss ssF 1)()2( 21 ???? ??ssFsk 2)()3( 32 ??? ??ssFsk 故有 3221)( ????? sssF 所以 )()e2e()( 32 ttf tt ??? ??? (2) 1)1( 22)( 222????? ??? s CBssAss sssF 可得 2)( 0 ?? ?ssFsA 又 CsBsAAsss ?????? 222 22 可得 B = 0， C = 1 112)( 2 ??? sssF 所以 )()sin2()( tttf ??? (3) 21)2)(1( 1231)( 212 ?????????? s ks ksssssF 1)()1( 11 ??? ??ssFsk 1)()2( 22 ???? ??ssFsk 故有 2111)( ????? sssF 故 )(