【正文】 = ( t ? 2 )?( t ? 2 ) 兩種方法結(jié)果一致。 (b) 由 ?( t )的特點(diǎn)，故 ?( t ) * 2 = 2 (c) te?t??( t ) * ?? ( t ) = [te?t?( t )]? = ( e?t ? te?t )?( t ) 210 對(duì)圖示信號(hào)，求 f1( t ) * f2( t )。 題 210圖 解 (a)先借用階躍信號(hào)表示 f1( t )和 f2( t )，即 f1( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) f2( t ) = ?( t ) ? ?( t ? 2 ) 故 f1( t ) * f2( t ) = [2?( t ) ? 2?( t ? 1 )] * [?( t ) ? ?( t ? 2 )] 因?yàn)? ?( t ) * ?( t ) = ?t0 d1?= t?( t ) 故有 11 f1( t ) * f2( t ) = 2t?( t ) ? 2( t ? 1 )?( t ? 1 ) ?2( t ? 2 )?( t ? 2 ) + 2( t ? 3 )?( t ? 3 ) 讀者也可以用圖形掃描法計(jì)算之。結(jié)果見圖 p210(a)所示。 (b)根據(jù) ? ( t )的特點(diǎn)，則 f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[? ( t ) + ? ( t ? 2 ) + ? ( t + 2 )] = f1( t ) + f1( t ? 2 ) + f1( t + 2 ) 結(jié)果見圖 p210(b)所示。 圖 p210 211 試求下列卷積。 (a) )()()()e1( 2 tttt ??? ???? ? (b) )](e[dd)(e 3 ttt tt ?? ?? ? 解 (a)因?yàn)?)()()()( tttt ???? ????? ，故 )()e1()()()e1()()()()e1( 222 tttttt ttt ?????? ??? ????????? (b)因?yàn)?)()(e ttt ?? ?? ，故 tttttttttt333e3)()()(e)](e[dd)(e??????????????? 212 設(shè)有二階系統(tǒng)方程 )(4)(2)(3)( ttytyty ? ??????? 試求零狀態(tài)響應(yīng) 解 因系統(tǒng)的特征方程為 ?2 + 3? + 2 =0 解得特征根 ?1 = ?1， ?2 = ?2 12 故特征函數(shù) )()ee(ee)( 22 21 ttx tttt ??? ?? ???? 零狀態(tài)響應(yīng) )()ee()(4)()(4)( 22 tttxtty tt ??? ?? ??????? = )()4ee8( 2 ttt ??? ? 213 如圖系統(tǒng)，已知 )()(),1()( 21 tthtth ?? ??? 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h( t )。 題 213圖 解 由圖關(guān)系， 有 )1()()1()()()()()()( 1 ?????????? tttttthtftftx ????? 所以沖激響應(yīng) )1()()()]1()([)()()()( 2 ?????????? tttttthtxtyth ????? 即該系統(tǒng)輸出一個(gè)方波。 214 如圖系統(tǒng)，已知 R1 = R2 =1?， L = 1H， C = 1F。試求沖激響應(yīng) uC( t )。 題 214圖 解 由 KCL和 KVL，可得電路方程為 13 )()(1)1()1( 1 21C1 2C21C tLRRtRuLRRLuL CRRuC ?? ?????????? 代入數(shù)據(jù)得 )()(22 CCC ttuuu ?? ???????? 特征根 ?1,2 = ?1 ? j1 故沖激響應(yīng) uC( t )為 )]()([*)ee()( 11C tttu tλtλ ?? ???? )(s i ne)()s i n( c o se ttttt tt ?? ????? ?? V)(cose ttt ??? ? 215 一線性時(shí)不變系統(tǒng)，在某起始狀態(tài)下，已知當(dāng)輸入 f( t ) = ?( t )時(shí)，全響應(yīng) y1( t ) = 3e?3t??( t )；當(dāng)輸入 f( t ) = ??( t )時(shí)，全響應(yīng) y2( t ) = e?3t??( t )，試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h( t )。 解 因?yàn)榱銧顟B(tài)響應(yīng) ?( t ) ? s( t )， ??( t ) ? ?s( t ) 故有 y1( t ) = yzi( t ) + s( t ) = 3e?3t??( t ) y2( t ) = yzi( t ) ? s( t ) = e?3t??( t ) 從而有 y1( t ) ? y2( t ) = 2s( t ) = 2e?3t??( t ) 即 s( t ) = e?3t??( t ) 故沖激響應(yīng) h( t ) = s? ( t ) = ?( t ) ? 3e?3t??( t ) 216 若系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) y( t ) = f( t ) * h( t ) 試證明： (1) ??????t httfthtf ?? d)(d )(d)()( (2) 利用 (1)的結(jié)果，證明階躍響應(yīng) ???? t hts ?? d)()( 證 （ 1）因?yàn)? 14 y( t ) = f( t ) ? h( t ) 由微分性質(zhì)，有 y? ( t ) = f? ( t ) ? h( t ) 再由積分性質(zhì)，有 ? ????? t htfty ?? d)()()( （ 2）因?yàn)? s( t ) = ?( t ) ? h( t ) 由（ 1）的結(jié)果，得 ? ????? t htts ??? d)()()( ????? t ht ??? d)()( ???? t h ?? d)( 15 第 3 章 習(xí)題解析 31 求題 31圖所示周期信號(hào)的三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示式。 題 31圖 解 對(duì)于周期鋸齒波信號(hào)，在周期 ( 0， T )內(nèi)可表示為 tTAtf ?)( 系數(shù) 2d1d)(1 000 AtTAtTttfTa TT ??? ?? ?? ??? TT ttntT AttntfTa 0 120 1n dc os2dc os)(2 ?? 0s i n20112 ?????????? Tn tntTA ?? ?? ??? TT ttntT AttntfT Ab 0 120 1n ds i n2ds i n)(2 ?? πc o s2 01 12 nAn tntT AT ???????????? ? 所以三角級(jí)數(shù)為 ????? 1 1s inπ2)( n tnnAAtf ? 32 求周期沖激序列信號(hào) ????? ?? n nTtt )()(T ?? 的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示式，它是否具有收斂性？ 解 沖激串信號(hào)的復(fù)系數(shù)為 16 所以 ?????? n tnTt 1jT e1)( ?? 因 Fn為常數(shù)，故無收斂性。 33 設(shè)有周期方波信號(hào) f( t )，其脈沖寬度 ? = 1ms，問該信號(hào)的頻帶寬度（帶寬）為多少？若 ?壓縮為 ，其帶寬又為多少？ 解 對(duì)方波信號(hào)，其帶寬為 ?1??f Hz， 當(dāng) ?1 = 1ms時(shí)，則 1111 ???? ?f 當(dāng) ?2 = ，則 Hz500 0000 1122 ???? ?f 34 求題 34圖示信號(hào)的傅里葉變換。 題 34圖 解 (a)因?yàn)? ?? ?tt , ??t,0 f( t ) = TttTFTT tn 1de)(1 22 jn 1 ?? ?? ? ?? 17 為奇函數(shù)，故 tttF ds in2j)( 0 ??? ???? ]c os[s in2j 2 ???????? ??? )](Sa[c os2j ????? ?? 或用微分定理求解亦可。 (b) f( t )為奇函數(shù)，故 ttF ds in)1(2j)( 0 ?? ?? ??? )2(s i n4j]1[c osj2 2 ?????? ??? 若用微分 積分定理求解，可先求出 f? ( t )，即 f? ( t ) = ?( t + ? ) + ?( t ? ? ) ? 2?( t ) 所以 2c o s22ee)j()( jj1 ??????? ? ??? ????Ftf 又因?yàn)?F1( 0 ) = 0，故 )1(c osj2)(j1)( 1 ??? ?????? FF 35 試求下列信號(hào)的頻譜函數(shù)。 (1) ttf 2e)( ?? (2) )(s ine)( 0 tttf at ?? ?? ? 解 (1) ??? ? ???? ???? ? ??? 0 j20 j2j deedeede)()( ttttfF ttttt ???? 24 4j2 1j2 1 ??? ?????? (2) ?? ? ?????? ? ???? 0 jjjj d)ee(e2j1ede)()( 00 tttfF tttatt ????? ?? ????? ???? 0 )j(j)j(j ]deee[e2j1 00 ttattat ???? ?????? ?????? 00 j)j( 1j)j( 12j1 ?????? 22022000 )j()j(j22j1 ??? ???? ? ??????? 36 對(duì)于如題 36圖所示的三角波信號(hào)，試證明其頻譜函數(shù)為 18 )2(Sa)( 2 ???? AF ? 題 36圖 證 因?yàn)? ?? ?? ttA ),1( 0， | t | ? 則 ? ?? ? ??? 0 dc os)1(2)( tttAF )c os1(22 ???? ?? A )2(sin4 22 ???? A? )2(Sa 2 ???A? 37 試求信號(hào) f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t的傅里葉變換。 解 因?yàn)? 1 ? 2??(?) 2cost ? 2?[?(? ? 1) + ?(? + 1) ] 3cos3t ? 3?[?(? ? 3) + ?(? + 3) ] 故有 F(? ) = 2?[?(?) + ?(? ? 1) + ?(? + 1) ] + 3?[?(? ? 3) + ?(? + 3) ] 38 試?yán)酶道锶~變換的性質(zhì)，求題 38圖所示信號(hào) f2( t )的頻譜函數(shù)。 f( t ) = 19 題 38圖 解 由于 f1( t )的 A = 2， ? = 2，故其變換 )(Sa4)2(Sa)( 221 ????? ?? AF 根據(jù)尺度特性，有 )2(Sa8)2(2)2( 211 ?? ?? Ftf 再由調(diào)制定理得 )(πc os)2()( 212 ?Fttftf ?? )]π22(Sa8)π22(Sa8[21)( 222 ???? ???F )π22(Sa4)π22(Sa4 22 ???? ?? 2222)π( )2(s in)π( )2(s in ???? ? ?? ? 39 試?yán)镁矸e定理求下列信號(hào)的頻譜函數(shù)。 (1) f( t ) = Acos(?0t) ? ?( t ) (2) f( t ) = Asin(?0t)?( t ) 解 （ 1）因?yàn)? )]()([π)c o s ( 000 ??????? ???? AtA ???? j1)(π)( ??t 所以由時(shí)域卷積定理 ]j 1)(π[)]()([π)( 00 ?????????? ?????? AF 20 )]()([j π 00 ??????? ???? A （ 2）因?yàn)? )]()([πj)s i n ( 000 ??????? ???? AtA