【正文】 法可將剩余部分的轉(zhuǎn)動慣量看成是原大圓盤和挖去的小圓盤對同一軸的轉(zhuǎn)動慣量的差值 ． 至于第二問需用到平行軸定理 ． 解 挖去后的圓盤如圖 (b)所示 ． (1) 解 1 由分析知 22/3222/2203215d2 dπ2πdmRrrRmrrRmrmrJRRRR??????? 解 2 整個圓盤對 OO 軸轉(zhuǎn)動慣量為 21 21mRJ ?， 挖去的小圓盤對 OO 軸轉(zhuǎn)動慣量22222 32122ππ21 mRRRRmJ ??????????????? ???????， 由分析知 ， 剩余部分對 OO 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 2210 3215 mRJJJ ??? (2) 由平行軸定理 ， 剩余部分對 O′O′軸的轉(zhuǎn)動慣量為 222220 32392ππ3215 mRRRRmmmRJ ????????? ??????????? 4 － 13 如圖 (a) 所示 ， 質(zhì)量 m1 ＝ 16 kg 的實心圓柱體 A， 其半徑為 r ＝ 15 cm， 可以繞其固定水平軸轉(zhuǎn)動 ， 阻力忽略不計 ． 一條輕的柔繩繞在圓柱體上 ， 其另一端系一個質(zhì)量 m2 ＝ kg 的物體 ： (1) 物體 B 由靜止開始下降 s后的距離 ； (2) 繩的張力 FＴ . 分析 該系統(tǒng)的運動包含圓柱體的轉(zhuǎn)動和 懸掛物的下落運動 (平動 ).兩種不同的運動形式應(yīng)依據(jù)不同的動力學方程去求解 ， 但是 ， 兩物體的運動由柔繩相聯(lián)系 ， 它們運動量之間的聯(lián)系可由角量與線量的關(guān)系得到 . 解 (1) 分別作兩物體的受力分析 ， 如圖 (b).對實心圓柱體而言 ， 由轉(zhuǎn)動定律得 αrmαJrFT 2121?? 對懸掛物體而言 ， 依據(jù)牛頓定律 ， 有 amFgmFP TT 222 ?????? 且 FＴ ＝ FＴ ′ .又由角量與線量之間的關(guān)系 ， 得 αra? 解上述方程組 ， 可得物體下落的加速度 21222 mm gma ?? 在 t ＝ s 時 ， B 下落的距離為 21 222 ???? mm gtmats (2) 由式 (2)可得繩中的張力為 ? ? 21 21 ????? gmm mmagmF T 4 － 14 質(zhì)量為 m1 和 m2 的兩物體 A、 B 分別懸掛在圖 (a)所示的組合輪兩端 .設(shè)兩輪的半徑分別為 R 和 r， 兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為 J1 和 J2 ， 輪與軸承間 、 繩索與輪間的摩擦力均略去不計 ， 繩的質(zhì)量也略去不計 .試求兩物體的加速度和繩的張力 . 分析 由于組合輪是一整體 ， 它的轉(zhuǎn)動慣量是兩輪轉(zhuǎn)動慣量之和 ， 它所受的力矩是兩繩索張力矩的矢量和 (注意兩力矩的方向不同 ).對平動的物體和轉(zhuǎn)動的組合輪分別列出動力學方程 ， 結(jié)合角加速度和線加速度之間的關(guān)系即可解得 . 解 分別對兩物體及組合輪作受力分析 ， 如圖 (b).根據(jù)質(zhì)點的牛頓定律和剛體的轉(zhuǎn)動定律 ，有 111111 amFgmFP TT ????? (1) 222222 amgmFPF TT ????? (2) ? ?αJJrFRF TT 2121 ??? (3) 11 TT FF ?? , 22 TT FF ?? (4) 由角加速度和線加速度之間的關(guān)系 ， 有 αRa?1 (5) αra?2 (6) 解上述方程組 ， 可得 gRrmRmJJ rmRma 222121 211 ??? ?? grrmRmJJ rmRma 222121 212 ??? ?? gmrmRmJJ RrmrmJJF T 1222121 221211 ??? ???? gmrmRmJJ RrmRmJJF T 2222121 121212 ??? ???? 4 － 17 一半徑為 R、 質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)圓盤 ， 以角速度 ω繞其中心軸轉(zhuǎn)動 ， 現(xiàn)將它平放在一水平板上 ， 盤與板表面的摩擦因數(shù)為 μ.(1) 求圓盤所受的摩擦力矩 .(2) 問經(jīng)多少時間后 ，圓盤轉(zhuǎn)動才能停止 ？ 分析 轉(zhuǎn)動圓盤在平板上能逐漸停止下來是由于平板對其摩擦力矩作用的結(jié)果 .由于圓盤各部分所受的摩擦力的力臂不同 ， 總的摩擦力矩應(yīng)是各部分摩擦力矩的積分 .為此 ， 可考慮將圓盤分割成許多同心圓環(huán) ， 取半徑為 r、 寬為 dr 的圓環(huán)為面元 ， 環(huán)所受摩擦力 dFｆ ＝ 2πrμmgdr/πR2 ， 其方向均與環(huán)的半徑垂直 ， 因此 ， 該圓環(huán)的摩擦力矩 dM ＝ r dFｆ ， 其方向沿轉(zhuǎn)動軸 ， 則圓盤所受的總摩擦力矩 M ＝ ∫ ， 總的摩擦力矩的計算就可通過積分來完成 .由于摩擦力矩是恒力矩 ， 則由角動量定理 MΔ t ＝ Δ (Jω)， 可求得圓盤停止前所經(jīng)歷的時間 Δ . 解 (1) 由分析可知 ， 圓盤上半徑為 r、 寬度為 dr 的同心圓環(huán)所受的摩擦力矩為 ? ?kFrM 22f /d2d Rrmgμrd ???? 式中 k 為軸向的單位 矢量 .圓盤所受的總摩擦力矩大小為 m gRμrR mgμrMM R 32d2d 0 22 ??? ? ? (2) 由于摩擦力矩是一恒力矩 ， 圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 J ＝ mR2/2 .由角動量定理 MΔ t ＝ Δ (Jω)，可得圓盤停止的時間為 gμRωMωJt 43Δ ?? 4 － 18 如圖所示 ， 一通風機的轉(zhuǎn)動部分以初角速度 ω0 繞其軸轉(zhuǎn)動 ， 空氣的阻力矩與角速度成正比 ， 比例系數(shù) C 為一常量 .若轉(zhuǎn)動部分對其軸的轉(zhuǎn)動慣量為 J， 問 ： (1) 經(jīng)過多少時間后其轉(zhuǎn)動角速度減少為初角速度的一半 ？ (2) 在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn) ？ 分析 由于空氣 的阻力矩與角速度成正比 ， 由轉(zhuǎn)動定律可知 ， 在變力矩作用下 ， 通風機葉片的轉(zhuǎn)動是變角加速轉(zhuǎn)動 ， 因此 ， 在討論轉(zhuǎn)動的運動學關(guān)系時 ， 必須從角加速度和角速度的定義出發(fā) ， 通過積分的方法去解 . 解 (1) 通風機葉片所受的阻力矩為 M ＝－ Cω， 由轉(zhuǎn)動定律 M ＝ Jα， 可得葉片的角加速度為 JωCtωα ??? dd (1) 根據(jù)初始條件對式 (1)積分 ， 有 tJCωω tωω dd 00 ?? ?? 由于 C 和 J 均為常量 ， 得 JCteωω /0 ?? (2) 當角速度由 ω0 → 12 ω0 時 ， 轉(zhuǎn)動所需的時間為 2lnCJt? (2) 根據(jù)初始條件對式 (2)積分 ， 有 teωθ JCttθ dd /0 00 ??? ? . 即 CωJθ 2 0? 在時間 t 內(nèi)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 CωJθN π4π2 0?? 4 － 20 一質(zhì)量為 m′、 半徑為 R 的均勻圓盤 ， 通過其中心且與盤面垂直的水平軸以角 速度 ω轉(zhuǎn)動 ， 若在某時刻 ， 一質(zhì)量為 m 的小碎塊從盤邊緣裂開 ， 且恰好沿垂直方向上拋 ， 問它可能達到的高度是多少 ？ 破裂后圓盤的角動量為多大 ？ 分析 盤邊緣裂開時 ， 小碎塊以原有的切向速度作上拋運動 ， 由質(zhì)點運動學規(guī)律可求得上拋的最大高度 .此外 ， 在碎塊與盤分離的過程中 ， 滿足角動量守恒條件 ， 由角動量守恒定律可計算破裂后盤的角動量 . 解 (1) 碎塊拋出時的初速度為 Rω?0v 由于碎塊豎直上拋運動 ， 它所能到達的高度為 gRωgh 22 2220 ?? v (2) 圓盤 在裂開的過程中 ， 其角動量守恒 ， 故有 LLL ??? 0 式中 ωRmL 221 ?? 為圓盤未碎時的角動量 ； ωmRL 2?? 為碎塊被視為質(zhì)點時 ， 碎塊對軸的角動量 ； L 為破裂后盤的角動量 .則 ωRmmL 221 ?????? ??? 4 － 21 在光滑的水平面上有一木桿 ， 其質(zhì)量 m1 ＝ kg， 長 l ＝ 40cm， 可繞通過其中點并與之垂直的軸轉(zhuǎn)動 .一質(zhì)量為 m2 ＝ 10g 的子彈 ， 以 v ＝ 102 ms1 ,方向與 Fx 相同 ,在 t＝ ,此物體的速度 v2 ． 分析 本題可由沖量的定 義式 ?? 21 dtt tFI,求變力的沖量 ,繼而根據(jù)動量定理求物體的速度 v2． 解 (1) 由分析知 ? ? sN68230d430 20220 ?????? ? ttttI (2) 由 I ＝ 300 ＝ 30t ＋ 2t2 ,解此方程可得 t ＝ 6． 86 s(另一解不合題意已舍去 ) (3) 由動量定理 ,有 I ＝ m v2 m v1 由 (2)可知 t ＝ 6． 86 s 時 I ＝ 300 Nｓ 1 和 x7 ＝ 142 m 2 18 一質(zhì)量為 m 的 小球最初位于如圖 (a)所示的 A 點 ,然后沿半徑為 r的光滑圓軌道ADCB下滑．試求小球到達點 C時的角速度和對圓軌道的作用力． 分析 該題可由牛頓第二定律求解．在取自然坐標的情況下 ,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度 aｔ ,與其相對應(yīng)的外力 Fｔ 是重力的切向分量 mgsinα,而與法向加速度 an相對應(yīng)的外力是支持力 FN 和重力的法向分量 mgcosα．由此 ,可分別列出切向和法向的動力學方程 Fｔ ＝mdv/dt和 Fn＝ man ．由于小球在滑動過程中加速度不是恒定的 ,因此 ,需應(yīng)用積分求解 ,為使運算簡便 ,可轉(zhuǎn)換積分變量． 倡 該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球為系統(tǒng)的機械能守恒定律求解小球的速度和角速度 ,方法比較簡便．但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力． 解 小球在運動過程中受到重力 P 和圓軌道對它的支持力 FN ．取圖 (b)所示的自然坐標系 ,由牛頓定律得 tmαmgFt ddsin v??? (1) RmmαmgFF Nn 2c os v??? (2) 由 tαrts dddd ??v ,得 vαrt dd ? ,代入式 (1),并根據(jù)小球從點 A 運動到點 C 的始末條件 ,進行積分 ,有 ? ??? ?? α ααrgo0 90 ds indvv vv 得 αrgcos2?v 則小球在點 C 的角速度為 rαgrω /c os2?? v 由式 (2)得 αmgαmgrmmFN c os3c os2 ??? v 由此可得小球?qū)A軌道的作用力為 αmgFF NN c o s3????? 負號表示 F′N 與 en 反向． 2 20 質(zhì)量為 kg 的物體 ,由地面以初速 m22 vvv ?? (如圖所示 ),于是可得 1o12 ???? vv 2 6 圖示一斜面 ,傾角為 α,底邊 AB 長為 l ＝ m,質(zhì)量為 m 的物體從題 2 6 圖斜面頂端由靜止 開始向下滑動 ,斜面的摩擦因數(shù)為 μ＝ ．試問 ,當 α為何值時 ,物體在斜面上下滑的時間最短？ 其數(shù)值為多少？ 分析 動力學問題一般分為兩類： (1) 已知物體受力求其運動情況； (2) 已知物體的運動情況來分析其所受的力．當然 ,在一個具體題目中 ,這兩類問題并無截然的界限 ,且都是以加速度作為中介 ,把動力學方程和運動學規(guī)律聯(lián)系起來．本題關(guān)鍵在列出動力學和運動學方程后 ,解出傾角與時間的函數(shù)關(guān)系 α＝ f(t),然后運用對 t 求極值的方法即可得出數(shù)值來． 解 取 沿 斜 面 為 坐 標 軸 Ox, 原點 O 位 于 斜 面 頂 點 , 則 由 牛 頓 第 二 定 律 有maαmg μαmg ?? c o ss in (1) 又物體在斜面上作勻變速直線運動 ,故有 ? ? 22 c oss i n2121c os tαμαgatαl ??? 則 ? ?αμααg lt c oss inc os 2 ?? (2) 為使下滑的時間最短 ,可令 0dd ?αt ,由式 (2)有 ? ? ? ? 0s i nc o sc o sc o ss i ns i n ????? αμαααμαα 則可得 μα 12tan ??, o49?? 此時 ? ? c oss i nc os 2 ??? αμααg lt 2 9 質(zhì)量為 m′的長平板 A 以速度 v′在光滑平面上作直線運動 ,現(xiàn)將質(zhì)量為 m 的木塊 B 輕輕平穩(wěn)地放在長平板上 ,板與木塊之間的動摩擦因數(shù)為 μ,求木塊在長平板上滑行多遠才能與板取得共同速度？ 分析 當木塊 B 平穩(wěn)地輕輕放至運動著的平板 A 上時 ,木塊的初速度可視為零 ,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動摩擦力 ,該力將改變它們的運動狀態(tài)．根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對地面的加速度．換以平板為參考系來分析 ,此時 ,木塊以初