【正文】 加速度之間的關(guān)系 ， 有 αRa?1 (5) αra?2 (6) 解上述方程組 ， 可得 gRrmRmJJ rmRma 222121 211 ??? ?? grrmRmJJ rmRma 222121 212 ??? ?? gmrmRmJJ RrmrmJJF T 1222121 221211 ??? ???? gmrmRmJJ RrmRmJJF T 2222121 121212 ??? ???? 4 － 17 一半徑為 R、 質(zhì)量為 m 的勻質(zhì)圓盤(pán) ， 以角速度 ω繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 現(xiàn)將它平放在一水平板上 ， 盤(pán)與板表面的摩擦因數(shù)為 μ.(1) 求圓盤(pán)所受的摩擦力矩 .(2) 問(wèn)經(jīng)多少時(shí)間后 ，圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)才能停止 ？ 分析 轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)在平板上能逐漸停止下來(lái)是由于平板對(duì)其摩擦力矩作用的結(jié)果 .由于圓盤(pán)各部分所受的摩擦力的力臂不同 ， 總的摩擦力矩應(yīng)是各部分摩擦力矩的積分 .為此 ， 可考慮將圓盤(pán)分割成許多同心圓環(huán) ， 取半徑為 r、 寬為 dr 的圓環(huán)為面元 ， 環(huán)所受摩擦力 dFｆ ＝ 2πrμmgdr/πR2 ， 其方向均與環(huán)的半徑垂直 ， 因此 ， 該圓環(huán)的摩擦力矩 dM ＝ r dFｆ ， 其方向沿轉(zhuǎn)動(dòng)軸 ， 則圓盤(pán)所受的總摩擦力矩 M ＝ ∫ ， 總的摩擦力矩的計(jì)算就可通過(guò)積分來(lái)完成 .由于摩擦力矩是恒力矩 ， 則由角動(dòng)量定理 MΔ t ＝ Δ (Jω)， 可求得圓盤(pán)停止前所經(jīng)歷的時(shí)間 Δ . 解 (1) 由分析可知 ， 圓盤(pán)上半徑為 r、 寬度為 dr 的同心圓環(huán)所受的摩擦力矩為 ? ?kFrM 22f /d2d Rrmgμrd ???? 式中 k 為軸向的單位 矢量 .圓盤(pán)所受的總摩擦力矩大小為 m gRμrR mgμrMM R 32d2d 0 22 ??? ? ? (2) 由于摩擦力矩是一恒力矩 ， 圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J ＝ mR2/2 .由角動(dòng)量定理 MΔ t ＝ Δ (Jω)，可得圓盤(pán)停止的時(shí)間為 gμRωMωJt 43Δ ?? 4 － 18 如圖所示 ， 一通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分以初角速度 ω0 繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 空氣的阻力矩與角速度成正比 ， 比例系數(shù) C 為一常量 .若轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J， 問(wèn) ： (1) 經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度減少為初角速度的一半 ？ (2) 在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn) ？ 分析 由于空氣 的阻力矩與角速度成正比 ， 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知 ， 在變力矩作用下 ， 通風(fēng)機(jī)葉片的轉(zhuǎn)動(dòng)是變角加速轉(zhuǎn)動(dòng) ， 因此 ， 在討論轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系時(shí) ， 必須從角加速度和角速度的定義出發(fā) ， 通過(guò)積分的方法去解 . 解 (1) 通風(fēng)機(jī)葉片所受的阻力矩為 M ＝－ Cω， 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M ＝ Jα， 可得葉片的角加速度為 JωCtωα ??? dd (1) 根據(jù)初始條件對(duì)式 (1)積分 ， 有 tJCωω tωω dd 00 ?? ?? 由于 C 和 J 均為常量 ， 得 JCteωω /0 ?? (2) 當(dāng)角速度由 ω0 → 12 ω0 時(shí) ， 轉(zhuǎn)動(dòng)所需的時(shí)間為 2lnCJt? (2) 根據(jù)初始條件對(duì)式 (2)積分 ， 有 teωθ JCttθ dd /0 00 ??? ? . 即 CωJθ 2 0? 在時(shí)間 t 內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為 CωJθN π4π2 0?? 4 － 20 一質(zhì)量為 m′、 半徑為 R 的均勻圓盤(pán) ， 通過(guò)其中心且與盤(pán)面垂直的水平軸以角 速度 ω轉(zhuǎn)動(dòng) ， 若在某時(shí)刻 ， 一質(zhì)量為 m 的小碎塊從盤(pán)邊緣裂開(kāi) ， 且恰好沿垂直方向上拋 ， 問(wèn)它可能達(dá)到的高度是多少 ？ 破裂后圓盤(pán)的角動(dòng)量為多大 ？ 分析 盤(pán)邊緣裂開(kāi)時(shí) ， 小碎塊以原有的切向速度作上拋運(yùn)動(dòng) ， 由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可求得上拋的最大高度 .此外 ， 在碎塊與盤(pán)分離的過(guò)程中 ， 滿足角動(dòng)量守恒條件 ， 由角動(dòng)量守恒定律可計(jì)算破裂后盤(pán)的角動(dòng)量 . 解 (1) 碎塊拋出時(shí)的初速度為 Rω?0v 由于碎塊豎直上拋運(yùn)動(dòng) ， 它所能到達(dá)的高度為 gRωgh 22 2220 ?? v (2) 圓盤(pán) 在裂開(kāi)的過(guò)程中 ， 其角動(dòng)量守恒 ， 故有 LLL ??? 0 式中 ωRmL 221 ?? 為圓盤(pán)未碎時(shí)的角動(dòng)量 ； ωmRL 2?? 為碎塊被視為質(zhì)點(diǎn)時(shí) ， 碎塊對(duì)軸的角動(dòng)量 ； L 為破裂后盤(pán)的角動(dòng)量 .則 ωRmmL 221 ?????? ??? 4 － 21 在光滑的水平面上有一木桿 ， 其質(zhì)量 m1 ＝ kg， 長(zhǎng) l ＝ 40cm， 可繞通過(guò)其中點(diǎn)并與之垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng) .一質(zhì)量為 m2 ＝ 10g 的子彈 ， 以 v ＝ 102 ms1 ． (1) 試問(wèn)：每秒需噴出多少氣體 ,才能使火箭最初 向上的加速度大小為 mｓ 2 ．在 t＝ 0時(shí) ,其速度為零 ,位置矢量 r0 ＝ 10 mi．求： (1) 在任意時(shí)刻的速度和位置矢量； (2) 質(zhì)點(diǎn)在 Oxy 平面上的軌跡方程 ,并畫(huà)出軌跡的示意圖． 分析 與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng) ,根據(jù)疊加原理 ,求解時(shí)需根據(jù)加速度的兩個(gè)分量 ax 和 ay分別積分 ,從而得到運(yùn)動(dòng)方程 r的兩個(gè)分量式 x(t)和 y(t)．由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度為恒矢 量 , 故兩次 積分后所得 運(yùn)動(dòng)方程為固定形式 , 即 200 21 tatxx xx ??? v和200 21 tatyy yy ??? v ,兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)．讀者不妨自己驗(yàn)證一下． 解 由加速度定義式 ,根據(jù)初始條件 t0 ＝ 0時(shí) v0 ＝ 0,積分可得 ??? ??? tt tt 000 )d46(dd jiav v ji tt 46 ??v 又由 tddr?v 及初始條件 t＝ 0 時(shí) ,r0＝ (10 m)i,積分可得 ??? ??? ttrr tttt 00 )d46(dd0 jir v jir 22 2)310( tt ??? 由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式 ,即 x ＝ 10＋ 3t2 y ＝ 2t2 消去參數(shù) t,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程 3y ＝ 2x 20 m 這是一個(gè)直線方程．直線斜率 32tandd ??? αxyk ,α＝ 33176。s1 ,飛機(jī)離地面的高度 y＝ 100 m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離 m4522 ?? gyx v (2) 視線和水平線的夾角為 rc ta n ?? xyθ (3) 在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為 vvv gtα xy a rc t a na rc t a n ?? 取自然坐標(biāo) ,物品在拋出 2s 時(shí) ,重力加速度的切向分量與法向分量分別為 rc t a ns i ns i n ??????????? vgtgαga t rc t a nc osc os ??????????? vgtgαga n 1 22 一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為 R 的圓周按規(guī)律 20 21 btts ?? v運(yùn)動(dòng) ,v0 、 b 都是常量． (1) 求 t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度； (2) t 為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于 b？ (3) 當(dāng)加速度達(dá)到 b 時(shí) ,質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？ 分析 在自然坐標(biāo)中 ,s 表示圓周上從某一點(diǎn)開(kāi)始的曲線坐標(biāo)．由給定的運(yùn)動(dòng)方程 s ＝s(t),對(duì)時(shí)間 t 求一階、二階導(dǎo)數(shù) ,即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度 v 和加速度的切向分量 aｔ ,而加速度的法向分量為 an＝ v2 /R．這樣 ,總加速度為 a ＝ aｔ eｔ ＋ anen．至于質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程 ,即為曲線坐標(biāo)的改變量 Δs＝ st s0．因圓周長(zhǎng)為 2πR,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)自然可求得． 解 (1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為 btts ??? 0dd vv 其加速度的切向分量和法向分量分別為 btsat ??? 22dd , RbtRa n 202 )( ??? vv 故加速度的大小為 R )(402222 btbaaaa ttn ????? v 其方向與切線之間的夾角為 ?????? ???? Rb btaaθ tn 20 )(a rc t a na rc t a n v (2) 要使｜ a｜＝ b,由 bbtbRR ??? 4022 )(1 v可得 bt 0v? (3) 從 t＝ 0 開(kāi)始到 t＝ v0 /b 時(shí) ,質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為 bsss t 2 200 v??? 因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為 bRRsn π4π2 20v?? 1 25 一無(wú)風(fēng)的下雨天 ,一列火車以 v1＝ m s－ 1 的速度射入桿端 ，其方向與桿及軸正交 .若子彈陷入桿中 ， 試求所得到的角速度 . 分析 子彈與桿相互作用的瞬間 ， 可將子彈視為繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng) .這樣 ， 子彈射入桿前的角速度可表示為 ω， 子彈陷入桿后 ， 它們將一起以角速度 ω′ 轉(zhuǎn)動(dòng) .若將子彈和桿視為系統(tǒng) ， 因系統(tǒng)不受外力矩作用 ， 故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒 .由角動(dòng)量守恒定律可解得桿的角速度 . 解 根據(jù)角動(dòng)量守恒定理 ? ?ωJJωJ ??? 212 式中 ? ?222 2/lmJ ? 為子彈繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ， J2ω為子彈在陷入桿前的角動(dòng)量 ， ω＝ 2v/l 為子彈在此刻繞軸的角速度 . 12/211 lmJ ? 為桿繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .可得桿的角速度為 ? ? 121 221 2 ??????? mm mJJ ωJω v 4 － 24 一轉(zhuǎn)臺(tái)繞其中心的豎直軸以角速度 ω 0 ＝ π s1 轉(zhuǎn)動(dòng) ， 轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J0 ＝ 103 kgs ,將 I、 m 及 v1代入可得 112 sm40 ????? mmI vv 3 9 高空作業(yè)時(shí)系安全帶是非常必要的 ．假如一質(zhì)量為 kg 的人 ,在操作時(shí)不慎從高空豎直跌落下來(lái) ,由于安全帶的保護(hù) ,最終使他被懸掛起來(lái)．已知此時(shí)人離原處的距離為 m ,安全帶彈性緩沖作用時(shí)間為 s ．求安全帶對(duì)人的平均沖力． 分析 從人受力的情況來(lái)看 ,可分兩個(gè)階段：在開(kāi)始下落的過(guò)程中 ,只受重力作用 ,人體可看成是作自由落體運(yùn)動(dòng)；在安全帶保護(hù)的緩沖過(guò)程中 ,則人體同時(shí)受重力和安全帶沖力的作用 ,其合力是一變力 ,且作用時(shí)間很短．為求安全帶的沖力 ,可以從緩沖時(shí)間內(nèi) ,人體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(動(dòng)量 )的改變來(lái)分析 ,即運(yùn)用動(dòng)量定理來(lái)討論．事實(shí)上 ,動(dòng)量定 理也可應(yīng)用于整個(gè)過(guò)程．但是 ,這時(shí)必須分清重力和安全帶沖力作用的時(shí)間是不同的；而在過(guò)程的初態(tài)和末態(tài) ,人體的速度均為零．這樣 ,運(yùn)用動(dòng)量定理仍可得到相同的結(jié)果． 解 1 以人為研究對(duì)象 ,按分析中的兩個(gè)階段進(jìn)行討論．在自由落體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 ,人跌落至2 m 處時(shí)的速度為 gh21 ?v (1) 在緩沖過(guò)程中 ,人受重力和安全帶沖力的作用 ,根據(jù)動(dòng)量定理 ,有 ? ? 12Δ vv mmt ??? PF (2) 由式 (1)、 (2)可得安全帶對(duì)人的平均沖 力大小為 ? ? 3?????? t ghmgtmΔmgF v 解 2 從整個(gè)過(guò)程來(lái)討論．根據(jù)動(dòng)量定理有 ???? mgghtmgF 3 12 一作斜拋運(yùn)動(dòng)的物體 ,在最高點(diǎn)炸裂為質(zhì)量相等的兩塊 ,最高點(diǎn)距離地面為 m．爆炸 s 后 ,第一塊落到爆炸點(diǎn)正下方的地面上 ,此處距拋出點(diǎn)的水平距離為 102 m．問(wèn)第二塊落在距拋出點(diǎn)多遠(yuǎn)的地面上． (設(shè)空氣的阻力不計(jì) ) 分析 根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ,物體在最高點(diǎn)處的位置坐標(biāo)和速度是易求的．因此 ,若能求出第二塊碎片拋出的速度 ,按拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律就 可求得落地 的位置．為此 ,分析物體在最高點(diǎn)處爆炸的過(guò)程 ,由于爆炸力屬內(nèi)力 ,且遠(yuǎn)大于重力 ,因此 ,重力的沖量可忽略 ,物體爆炸過(guò)程中應(yīng)滿足動(dòng)量守恒．由于炸裂后第一塊碎片拋出的速度可由落體運(yùn)動(dòng)求出 ,由動(dòng)量守恒定律可得炸裂后第二塊碎片拋出的速度 ,進(jìn)一步求出落地位置． 解 取如圖示坐標(biāo) ,根據(jù)拋體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律 ,爆炸前 ,物體在最高點(diǎn) A 的速度的水平分量為 hgxtxx 21010 ??v (1) 物體爆炸后 ,第一塊碎片豎直落下的運(yùn)動(dòng)方程為 211 21 gtthy ??? v 當(dāng)該碎片落地時(shí) ,有 y1 ＝ 0,t ＝ t1 ,則由上式得爆炸后第一塊碎片拋出的速度 121 21tgth??v (2) 又根據(jù)動(dòng)量守恒定律 ,在最高點(diǎn)處有 xx mm 20 21 vv ? (3) ymm 21 21210 vv ??? (4) 聯(lián)立解式 (1)、 (2)、 (3) 和 (4),可得爆炸后第二塊碎片拋出時(shí)的速度分量分別為 1102 sm100222 ????? hgxxx vv 112112 1?????? t gthy vv 爆炸后 ,第二塊碎片作斜拋運(yùn)動(dòng) ,其運(yùn)動(dòng)方程為 2212 tvxx x?? (