【正文】 ,試求： (1) 在開始 2ｓ 內(nèi)此力的沖量； (2) 若沖量 I ＝ 300 Ns1 ． (1) 試問：每秒需噴出多少氣體 ,才能使火箭最初 向上的加速度大小為 m m2 .今有砂粒以 Q ＝ 2t g min1 為止 .求 ： (1) B 輪的轉(zhuǎn)動慣量 ； (2) 在嚙合過程中損失的機械能 . 分析 兩飛輪在軸方向嚙合時 ， 軸向力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩 ， 兩飛輪系統(tǒng)的角動量守恒 ， 由此可求得 B 輪的轉(zhuǎn)動慣量 .根據(jù)兩飛輪在嚙合前后轉(zhuǎn)動動能的變化 ， 即可得到嚙合過程中機械能的損失 . 解 (1) 取兩飛輪為系統(tǒng) ， 根據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒 ， 有 ? ? 22111 ωJJωJ ?? 則 B 輪的轉(zhuǎn)動慣量為 2122112212 ?????? Jn nnJω ωωJ (2) 系統(tǒng)在嚙合過程中機械能的變化為 ? ? 42112221 ?????? ωJωJJE 式中負號表示嚙合過程中機械能減少 . 5 － 9 若電荷 Q 均勻地分布在長為 L 的細棒上 .求證 ： (1) 在棒的延長線 ， 且離棒中心為 r 處的電場強度為 220 4π1 Lr QεE ?? (2) 在棒的垂直平分線上 ， 離棒為 r 處的電場強度為 220 4π21 Lrr QεE ?? 若棒為無限長 (即 L→∞ )， 試將結(jié)果與無限長均勻帶電直線的電場強度相比較 . 分析 這是計算連續(xù)分布電荷的電場強度 .此時棒的長度不能忽略 ， 因而不能將棒當(dāng)作點電荷處理 .但帶電細棒上的電荷可看作均勻分布在一維的長直線上 .如圖所示 ， 在長直線上任意取一線元 dx， 其電荷為 dq ＝ Qdx/L， 它在點 P 的電場強度為 rr qε eE 20 dπ4 1d ?? 整個帶電體在點 P 的電場強度 ?? EE d 接著針對具體問題來處理這個矢量積分 . (1) 若點 P 在棒的延 長線上 ， 帶電棒上各電荷元在點 P 的電場強度方向相同 ， ?? L EiE d (2) 若點 P 在棒的垂直平分線上 ， 如圖 (A)所示 ， 則電場強度 E 沿 x 軸方向的分量因?qū)ΨQ性疊加為零 ， 因此 ， 點 P 的電場強度就是 ? ???Ly EαE jjE ds ind 證 (1) 延長線上一點 P 的電場強度 ??? L rπεqE 202 d， 利用幾何關(guān)系 r′ ＝ r － x統(tǒng)一積分變量 ， 則 ? ? 2202222 0 4π 12/12/1π4dπ4 1 Lr QεLrLrLεQxrL xQεE L/ L /P ???????? ?????? ? 電場強度的方向沿 x 軸 . (2) 根據(jù)以上分析 ， 中垂線上一點 P 的電場強度 E 的方向沿 y 軸 ， 大小為 Erε qαE L dπ4 dsin 20? ?? 利用幾何關(guān)系 sin α＝ r/r′ ， 22 xrr ??? 統(tǒng)一積分變量 ， 則 ? ? 2203/22222 0 4 1π2dπ4 1 LrrεQrxL xrQεE L/ L / ???? ? 當(dāng)棒長 L→∞ 時 ， 若棒單位長度所帶電荷 λ為常量 ， 則 P 點電場強度 rελLrLQrεE l0220π2 /41/π21lim????? 此結(jié)果與無限長帶電直線周圍的電場強度分布相同 ［ 圖 (B)］ .這說明只要滿足 r2/L2 ＜＜ 1，帶電長直細棒可視為無限長帶電直線 . 5 － 12 兩條無限長平行直導(dǎo)線相距為 r0 ， 均勻帶有等量異號電荷 ， 電荷線密度為 λ.(1) 求兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點的電場強度 ( 設(shè)該點到其中一線的垂直距離為 x)； (2) 求每一根導(dǎo)線上單位長度導(dǎo)線受到另一根導(dǎo)線上電荷作用的電場力 . 分析 (1) 在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點的電場強度為兩導(dǎo)線單獨在此所激發(fā)的電場的疊加 .(2) 由 F ＝ qE， 單位長度導(dǎo)線所受的電場力等于另一根導(dǎo)線在該導(dǎo)線處的電場強度乘以單位長度導(dǎo)線所帶電量 ， 即 ： F ＝ ： 式中的電場強度 E 是另一根帶電導(dǎo)線激發(fā)的電場強度 ， 電荷自身建立的電場不會對自身電荷產(chǎn)生作用力 . 解 (1) 設(shè)點 P 在導(dǎo)線構(gòu)成的平面上 ， E＋ 、 E－ 分別表示正 、 負帶電導(dǎo)線在 P 點的電場強度 ，則有 ? ? iiEEExrxrελxrxελ??????????????? ??00000π211π2 (2) 設(shè) F＋ 、 F－ 分別表示正 、 負帶電導(dǎo)線單位長度所受的電場力 ， 則有 iEF 00π2 rελλ ?? ?? iEF 002π2 rελλ ???? ?? 顯然有 F＋ ＝ F－ ， 相互作用力大小相等 ， 方向相反 ， 兩導(dǎo)線相互吸引 . 5 － 13 如圖為電四極子 ， 電四極子是由兩個大小相等 、 方向相反的電偶極子組成 .試求在兩個電偶極子延長線上距中心為 z 的一點 P 的電場強度 (假設(shè) z ＞＞ d). 分析 根據(jù)點電荷電場的疊加求 P 點的電場強度 . 解 由點電荷電場公式 ， 得 ? ? ? ? kkkE 202020 π4 1π4 12π4 1 dz qεdz qεz qε ????? 考慮到 z ＞＞ d， 簡化上式得 ? ? ? ?kkkE42022220222206π4. ..321. ..32112π4/11/1112π4zqdεqzdzdzdzdzzεqzdzdzzεq????????????????????????????????????????? 通常將 Q ＝ 2qd2 稱作電四極矩 ， 代入得 P 點的電場強度 kE 40 3π4 1 zQε? 5 － 14 設(shè)勻強電場的電場強度 E 與半徑為 R 的半球面的對稱軸平行 ， 試計算通過此半球面的電場強度通量 . 分析 方法 1： 由電場強度通量的定義 ， 對半球面 S 求積分 ， 即 ? ??S Sds EΦ 方法 2： 作半徑為 R 的平面 S′ 與半球面 S 一起可構(gòu)成閉合曲面 ， 由于閉合面內(nèi)無電荷 ，由高斯定理 ?? ??? 01d 0 qεS SE 這表明穿過閉合曲面的凈通量為零 ， 穿入平面 S′ 的電場強度通量在數(shù)值上等于穿出半球面S 的電場強度通量 .因而 ?? ? ????? SS SESEΦ dd 解 1 由于閉合曲面內(nèi)無電荷分布 ， 根據(jù)高斯定理 ， 有 ?? ? ????? SS SESEΦ dd 依照約定取閉合曲面的外法線方向為面元 dS 的方向 ， ERπRE 22 πc o sπ ?????Φ 解 2 取球坐標系 ， 電場強度矢量和面元在球坐標系中可表示為 ① ? ?rθ θθE eeeE s i ns i nc o ss i nc o s ??? rθθR eS ddsind 2? ERθθERθθERSS2π0π02222πds i nds i ndds i ns i nd?????? ??? SEΦ 5 － 17 設(shè)在半徑為 R 的球體內(nèi) ， 其電荷為球?qū)ΨQ分布 ， 電荷體密度為 ? ?? ?Rrρ krρ ?? ??? 0 Rr0 k為一常量 .試分別用高斯定理和電場疊加原理求電場強度 E與 r的函數(shù)關(guān)系 . 分析 通常有兩種處理方法 ： (1) 利用高斯定理求球內(nèi)外的電場分布 .由題意知電荷呈球?qū)ΨQ分布 ， 因而電場分布 也是球?qū)ΨQ ， 選擇與帶電球體同心的球面為高斯面 ， 在球面上電場強度大小為常量 ， 且方向垂直于球面 ， 因而有 2S π4d rE ???? SE 根據(jù)高斯定理 ?? ?? Vρε d1d 0SE， 可解得電場強度的分布 . (2) 利用帶電球殼電場疊加的方法求球內(nèi)外的電場分布 .將帶電球分割成無數(shù)個同心帶電球殼 ， 球殼帶電荷為 rrρq ???? dπ4d 2 ， 每個帶電球殼在殼內(nèi)激發(fā)的電場 0d ?E ， 而在球殼外激發(fā)的電場 rrεq eE 20π4 dd ? 由電場疊加可解得帶電球體內(nèi)外的電場分布 ? ? ? ?? ? ? ?RrrrRr??????? dRr0 d00EEEE 解 1 因電荷分布和電場分布均為球?qū)ΨQ ， 球面上各點電場強度的大小為常量 ， 由高斯定理?? ?? Vρε d1d 0SE 得球體內(nèi) (0≤ r≤ R) ? ? 400 202 πdπ41π4 rε krrkrεrrE r ?? ? ? ? rεkrr eE 024? 球體外 (r ＞ R) ? ? 400 202 πdπ41π4 rε krrkrεrrE R ?? ? ? ? rεkRr eE 024? 解 2 將帶電球分割成球殼 ， 球殼帶電 rrrkVρq ????? dπ4dd 2 由上述分析 ， 球體內(nèi) (0≤ r≤ R) ? ? rrr εkrr rrrkεr eeE 022 20 0 4dπ4π4 1 ?????? ? 球體外 (r ＞ R) ? ? rrR rεkRr rrπrkπεr eeE 20 22 20 0 4d44 1 ?????? ? 5 － 22 如圖所示 ， 有三個點電荷 Q1 、 Q2 、 Q3 沿一條直線等間距分布且 Q1 ＝ Q3 ＝ Q.已知其中任一點電荷所受合力均為零 ， 求在固定 Q1 、 Q3 的情況下 ， 將 Q2從點 O 移到無窮遠處外力所作的功 . 分析 由庫侖力的定義 ， 根據(jù) Q1 、 Q3 所受合力為零可求得 Q2 .外力作功 W′應(yīng)等于電場力作功 W 的負值 ， 即 W′＝－ ： (1)根據(jù)功的定義 ， 電場力作的功為 lEd0 2??? QW 其中 E 是點電荷 Q1 、 Q3 產(chǎn)生的合電場強度 . (2) 根據(jù)電場力作功與電勢能差的關(guān)系 ， 有 ? ? 0202 VQVVQW ??? ? 其中 V0 是 Q1 、 Q3 在點 O 產(chǎn)生的電勢 (取無窮遠處為零電勢 ). 解 1 由題意 Q1 所受的合力為零 ? ? 02π4π4 20 312021 ?? dε dε 解得 Q 414132 ???? 由點電荷電場的疊加 ， Q1 、 Q3 激發(fā)的電場在 y 軸 上任意一點的電場強度為 ? ? 2/322031 π2 ydε QEEE yyy ???? 將 Q2 從點 O 沿 y 軸移到無窮遠處 ， (沿其他路徑所作的功相同 ， 請想一想為什么 ？ )外力所作的功為 ? ? dεQyydε QW y 022/322022 2 π8dπ241d ????????? ??????? ?? ?? lE 解 2 與解 1相同 ， 在任一點電荷所受合力均為零時 412 ??， 并由電勢 的疊加得 Q1 、 Q3 在點 O 的電勢 dεQdεQdεQV 003010 π2π4π4 ??? 將 Q2 從點 O 推到無窮遠處的過程中 ， 外力作功 dεQVQW 0202 π8???? 比較上述兩種方法 ， 顯然用功與電勢能變化的關(guān)系來求解較為簡潔 .這是因為在許多實際問題中直接求電場分布困難較大 ， 而求電勢分布要簡單得多 . 5 － 27 兩個同心球面的半徑分別為 R1 和 R2 ， 各自帶有電荷 Q1 和 Q2 .求 ： (1) 各區(qū)域電勢分布 ， 并畫出分布曲線 ； (2) 兩球面間的電勢差為多少 ？ 分析 通常可采用兩種方法 (1) 由于電荷均勻分布在球面上 ， 電場分布也具有球?qū)ΨQ性 ， 因此 ， 可根據(jù)電勢與電場強度的積分關(guān)系求電勢 .取同心球面為高斯面 ， 借助高斯定理可求得各區(qū)域的電場強度分布 ， 再由 ?? ??ppV lE d可求得電勢分布 .(2) 利用電勢疊加原理求電勢 .一個均勻帶電的球面 ， 在球面外產(chǎn)生的電勢為 rεQV 0π4? 在球面內(nèi)電場強度為零 ， 電勢處處相等 ， 等于球面的電勢 RεQV 0π4? 其中 R 是球面的半徑 .根據(jù)上述分析 ， 利用電勢疊加原理 ， 將兩個球面在各區(qū)域產(chǎn)生的電勢疊加 ， 可求得電勢的分布 . 解 1 (1) 由高斯定理可求得電場分布 ? ?? ?? ?22021321201211 π4 π4 0RrrεRrRrεQRrrr????????eEeEE 由電勢 ?? ??rV lE d 可求得各區(qū)域的電勢分布 . 當(dāng) r≤ R1 時 ， 有 202101202121013211π4π4π411π40ddd2