【正文】 VAQ A Q VAQ A Q VA由于 V的任意性。 * )1l i m ( * * ) ( * ) ]1l i m ( ( ) * ) ( * ) ]ssdFdFd[ F s Fs[ F s Fs????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?AV Q A Q Q V QAQ A Q Q V Q Q A A V Q Q A Q又 ∵ )(*)( AQAQ FF ??? （ F(A)是各向同性函數(shù)） 。 ∴ 1 1 1 1()s r s ri i j j i i j jdd ??FA i i i iA又 ∵ srs iijjii AF iiAF ??? 111 )()( ?11111111()()srsrsrsri i j ji i j jiijjiijjdddFdFA??????????? ???????FAAAA最后得： ∴ 1111() ssrriii i j jjjFddA???FA i i i iA例 10： 設(shè) F(A)是二階張量自變量的標(biāo)量值各向同性函數(shù)。{ 11 ?rjj jjr ?? ii。 i1, i2, i3}。 定理： 張量函數(shù) F(A)在 A處的導(dǎo)數(shù)若存在，則 d ( )dFAA是唯一 的。且記為： ( ) ( 。則按一元實(shí)函 數(shù)導(dǎo)數(shù)定義推廣有： ( ) ( ) ( ) ( || || )o? ? ? ?AF A V F A L V V（ ） 式中 LA(V )是 V的線性部分。 11 。 ( )( ) 。 解： 由（ ）式得： ( ) ( )ij k l i j ij i j k l k l?? ??i i i i i i Ψ ii∵ 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 3 1 1 2 3 3 1 1 1 3 1 3 2 1 1 3 2 3 3 1 1 3 3() i j i j?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?Ψ i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i∴ 1111 1211 33111 。 證畢。即 Ω的分量由 Ψ作用 在 Pr張量空間基底組的每一個(gè)基底上的值確定。則存在唯一的 Ω∈ Ps+r ，使得： ( ) ( ) 。同時(shí)按這種形式定義的導(dǎo)數(shù)不需要進(jìn)行除 法運(yùn)算。為此將一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義形式等價(jià)地變成為： 。因此對張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不能采用上述極限的形 式。 : : 0? ? ?A I O I A O I A I又 ∵ A是各向同性四階張量由（ ）式得： lkjijkiljlikklij iiiiA )]([ ???????? ???∴ : [ ( ) ] : ( ) [ ( ) ]3 2 ( 3 2 ) 3 2 0i j k l i k j l i l j k i j k l m m i j m m i m j m i m j m i ji j i j i j i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A I i i i i i i i ii i i i I O容易驗(yàn)證當(dāng) 3λ+2μ =0時(shí)： : 。 m tr? ? ? ?? ? ? ?σ i i i i i i σ若 σ m≠ 0 ，且： 0:: ??? ?σAσf 2。則： 21( ) 0 。 證畢。 ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A r r r r r r F A r r r r r r由引理 2可知 {I, A, A2}是線性無關(guān)組。 同理可得 F(A)表示為（ ）和（ ）式形式時(shí)是各 向同性函數(shù)。 是二階對 證： 當(dāng) F(A)表示為（ ）的形式時(shí)： ∵ 20 1 222( ) ( ) * ( ) * ( ) * 。 ∴ or? 0??這表明 {I}是線性無關(guān)組。 121211? ???? ? ? ?∵ ∴ 12??? 0??。 方程組（ g）的解為： 0321 ??? ???這表明 {I, A, A2}是線性無關(guān)組。則： ???????????????????orAAIorAAIorAAI323212232112321)()()(?????????（ f） ∵ 1 1 1 2 2 2 3 3 3。 引理 2： 若 A是二階張量。兩式相減得： ( ) ( ) ( ) 。 F(A) 是具有 相同方向的長度不同的三個(gè)矢量。r 、 r r 、 r ( ) ( )( ) ( ) 。則 F(A)與 A有相同的單位特征矢量。試證明： AAA :)( ?F是各向同性函數(shù)。因此 F和 F的函數(shù)形式可能不同。即： ),()( 321 ???FF ?A又 ∵ λ λ2 、 λ3是方程： 0)()()( 31213 ???? AAA III ???的根。否則若左邊 F是 r r2 、 r3的函數(shù)，右邊是 12,??Q r Q r3?Qr等式的含義是當(dāng)給定 r r2 、 r3和 的函數(shù)。,( 321321321321 rQrQrQrrr ???? ?????? FF等式左邊和等式右邊的 321321 ,。 , , )F F F? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?Q A Q Q r Q r Q r r r r由于 Q的任意性。? ? ?? ? ? ? ? ?A r r A r r A r r21 1 1 2 2 2 3 3 3( * ) 。） ),。ij i j i i ij i j i i ij i j i iA A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A a i i i i A b i i i i A c i i i i1)( ??? cba∴ 1 1 2 3 2 3 2 31 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 1 1 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )i i i i i i i iI A A AA A A A A A tr? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A i i i i i i i i ii i i i i i i i i A2 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 3 2 2 3 111 22 1 2 3 21 12 2 1 3 22 33 1 2 3 32 23 1 3 211 22 11 33( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1( 2 2 22i i j j i i j j i i j ji j i j i j i j i j i jI A A A A A AA A A A A AA A A A A A A AA A A A? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?A i i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i22 33 12 21 31 13 32 23211 22 33 11 11 22 22 33 33 12 21 31 13 32 232 2 2 21) ( 2 2 2 )21[ ( ) 2 2 2 ) ]21 1 1[ ( ) ] [ ( ) * : ] [ ( ) ]2 2 2ij jiA A A A A A A AA A A A A A A A A A A A A A At r A A t r t r t r? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A A A A A A將 I1(A) 、 I2(A)代入（ ）式得： 3 2 2 2 31( ) [ ( ) ] ( )2tr tr tr I? ? ? ? ?A A A A A A A I O兩邊取跡得： 3 2 2 231( ) ( ) [ ( ) ] 3 ( ) 02tr tr tr tr tr tr I? ? ? ? ?A A A A A A A∴ 3 3 23 1 1 1( ) ( ) ( )3 6 2I A tr tr tr tr? ? ?A A A A一、對稱二階張量自變量標(biāo)量值各向同性函數(shù) 定理： 自變量是二階對稱張量 A的標(biāo)量值函數(shù) F (A)是各向 同性的。 ii） 0)()()( 32213 ???? IAAAAAA III該式也稱為 CayleyHamilton定理。i i Qf? ? ?f u u i u Q u∴ fQiQuf ???? iiQ f )(由 ： )( uQffQ ???ii） FFQ ? （坐標(biāo)變換不改變標(biāo)量） *))(()( QAQiQiQiiA ??????? jiijQjiijQ AA∴ *)()( QAQA ??? FFiii） ∵ *))(()()( QFQiQiQiiAF ??????? jiijQjiijQ FF*QAQA ???Q∵ ∵ ∴ *)(* QAQFQFQ ?????例 3： 試證明： 1 ()tr?????ε σ σ IEE是各向同性函數(shù)。 Φ (Ψ )是各向同性的，則定義： )( ΨΦΦ ?且稱 Φ (Ψ )是 s階張量自變量的 r階張量值各向同性函數(shù)。當(dāng) Φ作為 s 階張量 Ψ 自變量的函數(shù)是各向同 性的。因此本節(jié)中不討論張量的不連續(xù)性的問題。那么 F ( A ) 的 A0 點(diǎn)是連續(xù)函數(shù)。若對任意給定的正數(shù) ε ，總存在著 一個(gè)正數(shù) δ 。該定義是通過兩個(gè)絕對值 | x x0 |、 | f (x) – f (x0) | 確定了 f (x) 在 x0 點(diǎn)的連續(xù)性。 二、張量函數(shù)的連續(xù)性 為了引入張量函數(shù)的連續(xù)性，首先回顧一元實(shí)函數(shù)的連續(xù) 性定義。顯然物體受力是確定的 ，而對 同一位置矢量標(biāo)定的點(diǎn)， σ 是不變的常二階張量。函數(shù)可寫為： xaxf ??)(（ b）對任意位置矢量 x所標(biāo)定的物體中的點(diǎn)。那么 f (x ) = a 例 1： 張量函數(shù)例子。則： )(: AA FF ? （ ） F (A)稱為二階張量自變量的零階張量值函數(shù)?；蚍Q f (u)是 矢量自變量的標(biāo)量值函數(shù)。則： )(: xfxf ? （ ） f (x)稱為零階張量自變量的零階張量值函數(shù)。 i1, i2, i3}基底構(gòu)成的 r 階和 s 階張 量空間。? ? ?A A A A P⊙Pd ???? BABABA ,。 ( ,), rP? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A B C A B A C A B C A B A ABCC⊙ ⊙ ⊙（ ） iii）正定性： , 0 , 0 。 設(shè) P是 Pr張量空間的開集。, 111 ?riiii iirr ??? ??使得： )3,2,1,(。 i1, i2, i3}是 V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交 坐標(biāo)系。但這些代數(shù)運(yùn)算所構(gòu)成的張量 空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)仍無法對張量空間點(diǎn)列的收斂性、張量空 間與張量空間的映射及映射的連續(xù)性等進(jìn)行描述。而第三章中對張量空間的各 元素（張量）間的各種代數(shù)運(yùn)算（加法、數(shù)乘、張量積、 點(diǎn)積等）作了詳盡的分析。 {o。 111 ?? riiii iiA rr ??? iiA如果對任意的 A∈ Pr，存在二組實(shí)數(shù)： )3,2,1,(。記為 P。 , , rP? ? ? ? ? ? ?A B B A A A AB BB⊙ ⊙（ ） ii）線性性： , , , 。其定義如下： 12|| || ( ) 。 Pr、 Ps是由 {o。 當(dāng) r≤2, s≤2時(shí)有： 1． r=0, s=0時(shí)： Φ 記為 x； F記為 f。則： )(: uu ff ? （ ） F (u)稱為一階張量自變量的零階張量值函數(shù)。 4． r=2， s=0時(shí)： Φ記為 A； F記為 F。則： )(: AFAF ? （ ） F(A)稱為二階張量自變量的二階張量值函數(shù)。 ( ) 。那么 f (x ) = a ( x )是矢量自變 量的矢量值函數(shù)。且： nσp