可降階的高階微分方程,高階線性微分方程及其通解結構-全文預覽
【正文】 ????221 2 31 sin ,8xe x C x C x C? ? ? ? ?01:,2CC ?其 中所以原方程通解為 221 2 31 s in .8xy e x C x C x C? ? ? ? ?5 ( , )y f x y?? ??二 、 的型 微 分 方 程特點： 不顯含未知函數(shù) y. 解法： ( ) ,y P x? ?令d ,dPyPx?? ???則代入原方程 ,得 ? ?, ( ) .P f x P x? ? 這是一階微分方程 . 2 00( 1 ) 22 1 3 .xxx y x y y y???? ? ?? ? ? ?求 微 分 方 程 滿 足 , 的 特 解例解 ( , )y f x y?? ??所 給 方 程 是 型 ，( ) ,y P x? ?令 d ,dPyPx?? ???則代入原方程 ,得 212d d ,1xPxPx? ?積分 212d d ,1xPxPx? ???2l n l n ( 1 ) l n ,P x C? ? ?即 2( 1 ) ,P C x??則 得 :0 3xy ?? ?由 得 ：3C ? ，23 ( 1 ) ,Px??則 : 23 ( 1 ) ,yx? ??即 兩邊積分得 : 3 13,y x x C? ? ?0 1xy ? ?由 得 ： 11,C?33 1 .y x x? ? ?則 所 求 的 特 解 為 :6 3 y y?? ???求 微 分 方 程 的 通 解例( ) ,y P x? ?令 d ,dPyPx?? ???則解 代入原方程 0,x P P??? d ,dPxPx ??即分離變量 ,得 11ddPxPx?? ， 1l n l n l nP x C? ? ?積分得 1 ,CPx??1Cyx? ?即 ，對它兩端積分 ,得 12lny C x C?? ，原方程通解為 12l n .y C x C??7 ( , )y f y y?? ??三 、 的型 微 分 方 程特點： 不顯含自變量 x. 解法： ,dyypdx? ??令 d ,dpypy?? ?則()yy?? ? ???因 ddddpyyx??ddppy，代入原方程 ,得 d ( , )dpp f y py ?這是一階微分方程 . 24 y y?? ???求 微 分例 方 程 的 通 解解 ( ) ,y p y? ?設 d,d pyp y?? ?則 ,yy? ??將 代 入 原 方 程 得 ： 2dd 0pyy p p?? ，0 0 ,yp??在 、 時 p約 去 并 分 離 變 量 再 積 分 得 ：ddpypy??? ，()d d pyd x d x? ??8 1l n l n l np y C??即 ， 1p C y?? ，1ddy Cyx ?即 ，:分 離 變 量 得1d dy Cxy ? ，:積 分1d dy Cxy ??? ，12: l n l ny C x C??即 ， 12:,Cxy C e?所 以12 .Cxy C e?則 原 方 程 的 通 解 為 ：24 y y?? ???求 微 分例 方 程 的 通 解解 ( ) ,y p y? ?設 d,d pyp y?? ?則 ,yy? ??將 代 入 原 方 程 得 ： 2dd 0pyy pp ?? ，0 0 ,yp? ??在 、 時 p約 去 并 分 離 變 量 再 積 分 得 ：ddpypy??? ，9 2 002 1 15 1 xxy y y y y???? ? ?? ? ? ?例 求 微 分 方 程 滿 足 初 始 條 件 ,.的 特 解解 ( ) ,y p y? ?設 d ,dpypy?? ?則,yy? ??
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