第八章因子分析-全文預(yù)覽
【正文】 際應(yīng)用中，用估計值 分別代替上述公式中的 μ, A和 D，并將樣品 xj的數(shù)據(jù)代入，便可得到相應(yīng)的因子得分 ? ?12, , , mf f f ??f ? ?A D, 和? ? ? ?111? ? ? ?? ?jj ???????f A D A A D x x? ? ? ?111? ???????f A D A A D x μ50 二、回歸法 ? 在正交因子模型中，假設(shè) 服從 (m+p)元正態(tài)分布， 用 回歸預(yù)測方法可將 估計為 稱為 湯姆森 （ Thompson,1951） 因子得分 。旋轉(zhuǎn)后的因子載荷可計算如下： *11*22c o s si nsi n c o siiiiaaaa?????? ??????? ??????? ????44 ? 例 滬市 604家上市公司 2020年財務(wù)報表中有這樣 十 個主要財務(wù)指標(biāo) (數(shù)據(jù)可從前言中提及的作者網(wǎng)頁上下載 )： x1： 主營業(yè)務(wù)收入 (元 ) x6： 每股凈資產(chǎn) (元 ) x2： 主營業(yè)務(wù)利潤 (元 ) x7： 凈資產(chǎn)收益率 (%) x3： 利潤總額 (元 ) x8： 總資產(chǎn)收益率 (%) x4： 凈利潤 (元 ) x9： 資產(chǎn)總計 (元 ) x5： 每股收益 (元 ) x10： 股本 上述 十 個指標(biāo)的樣本相關(guān)矩陣列于表 。使用最大方差旋轉(zhuǎn)法后，因子按順時針方向旋轉(zhuǎn)了 θ=176。 ? 正交矩陣 T的不同選取法構(gòu)成了正交旋轉(zhuǎn)的各種不同方法，在這些方法中使用最普遍的是 最大方差旋轉(zhuǎn)法 (varimax)，本節(jié)僅介紹這一種正交旋轉(zhuǎn)法。 ? A*A*′=ATT′A′=AA′， 故 因子 正交旋轉(zhuǎn)也不改變殘差矩陣。 ? 對公共因子作正交旋轉(zhuǎn) f*=T′f的同時，載荷矩陣也相應(yīng)地變?yōu)?A*=AT。這時可 將 x1,x2,?,xp分成 m個部分 ， 分別 對應(yīng) f1,?, fm，這是一種使因子解釋大為簡化的理想情形，稱之為 簡單結(jié)構(gòu) 。 ? 因子是否易于解釋，很大程度上取決于因子載荷矩陣 A的元素結(jié)構(gòu)。 ? 例 在例 ，取 m=2，極大似然法的計算結(jié)果列于表 。記 (μ,A,D)的極大似然估計為 ( )，即有 ? 可以證明， ，而 滿足以下方程組 ： ? ??,μ AD? ?? ??( , , ) m a x , ,LL ?μ AD μ AD? ?μ x ? ?AD和 11? ? ? ?? ? ?()? ?? ?dia g( )m??? ?????????Σ D A A I A D AD Σ AA=35 其中 。計算得 于是約相關(guān)矩陣為 2ih2 2 2 21 2 3 42 2 2 25 6 7 8? ? ? 77 , 88 , 45 , 84? ? ? 27 , 55 , 67 , 05h h h hh h h h? ? ? ?? ? ? ?* 07 0 ? 00 05 06 ???????????????R????????32 的特征值為 從 起特征值已接近于 0，故取 m=2，相應(yīng)的計算結(jié)果列于表 。 2i?2 2 21?? ?1 1 , 1 , 2 , ,mi i ijjh a i p??? ? ? ? ??2?i?30 特殊 (或共性 )方差的常用初始估計方法 ? (1)取 ，其中 rii是 的第 i個對角線元素，此時共性方差的估計為 ，它是 xi和其他 p?1個變量間樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)的平方，該初始估計方法最為常用 ，但一般要求 滿秩 。 ? R*中的對角線元素是 ，而不是 1，非對角線元素和 R中是完全一樣的，并且 R*也是一個非負(fù)定矩陣。 表 當(dāng) m=1和 m=2時的主成分解 變 量 m=1 m=2 因子載荷 共性方差 因子載荷 共性方差 f1 f2 f1 f2 ： 100米 ： 200米 ： 400米 ： 800米 ： 1500米 ： 5000米 ： 10000米 ： 馬拉松 所解釋的總方 差的累計比例 1f2?ih*1x23456782?ih*1x*2x*3x*4x*5x*6x*7x*8x26 主成分解的近似關(guān)系式 ? 主成分解的因子解釋與主成分的解釋完全相同。 雖然第 j個因子與第 j個主成分的解釋完全相同，但主成分法與主成分分析本質(zhì)上卻是兩個不同的概念。選取相對較小的因子數(shù) m ，并使得累計貢獻(xiàn)率 達(dá)到一個較高的百分比，則S可近似分解如下： 其中 為 p m矩陣， ， i=1,2,?,p。 ? ? ? ? ? ?1C ov , C ov , C ov ,mi j i j i j ijx f a f f f a?????? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ?C ov , C ov ,iji j i j ijijxfx f x f aV x V f? ? ? ?19 ? xi=μi+ai1f1+ai2f2+?+aimfm+εi 令 于是 221mi ijjha?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 21 1 2 22 2 2 212 , 1 , 2 , ,i i i im m ii i im iV x a V f a V f a V f Va a a i p??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?221, 1 , 2 , ,mi ijjh a i p????20 ? 反映了公共因子對 xi的影響，可以看成是公共因子 f1,f2,?,fm對 xi的方差貢獻(xiàn)，稱為 共性方差(munality)；而 是特殊因子 εi對 xi的方差貢獻(xiàn)，稱為 特殊方差 (specific variance)。 Σ也可分解為 Σ=A*A*′+D ? 因此，因子載荷矩陣 A不是惟一的，在實際應(yīng)用中常常利用這一點，通過因子的旋轉(zhuǎn)（見稍后的 167。一般來說， m選取得越小，上述近似效果就越差，即因子模型擬合得越不理想。 ? ?12, , , mf f f ??f ?, , , p? ? ? ?ε? ? :ija p m??A? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2 212di a g , ,
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1