【正文】 a b t ya?? ? ? ? ? ?? ? 212 ( ) 0niQ a b t y tb?? ? ? ? ? ?? ? 整理得 1121 1 1nniin n ni i iy na b tty a t b t??? ? ?? ?????? ??????? ? ?消去 221 1 1 1 1, ( )n n n n ni i i i ia n t t b n t y t y? ? ? ? ???? ? ?????? ? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得 2 2 2 21 1 1 11 ( 1 )n n n ni i i in t t t? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，故 2211) 0,nniin t t??????等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)121 1 1nt t t? ? ?…. 又由于 t 為時(shí)間變量 ，故 12 nt t t? ? ?… ，所以 2211( ) 0nniin t t?????? 故1 1 1221111()n n ni i inniinniin ty t ybn t ty b tan? ? ????????? ?? ????? ?? ???? ? ????? 13 用于判斷極值是否存在 例 11. 證明 21( , ) ( ) ,niQ a b a bt y?? ? ??存在極小值。 證法 2 通過構(gòu)造積分不等式來證明 因?yàn)?( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，所以 22( ) , ( ) , ( ) ( )f x g x f x g x?都可積，且對(duì)任何實(shí)數(shù) 2,[ ( ) ( )]t tf x g x? 也可積，又 2[ ( ) ( )] 0,tf x g x??故 2[ ( ) ( )] 0ba tf x g x dx???，即2 2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0b b b ba a a atf x g x dx t f x dx t f x g x dx g x dx? ? ? ? ?? ? ? ? 由此推得關(guān)于 t 的二次三項(xiàng)式的判別式非正，即2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 0b b ba a af x g x dx f x dx g x dx? ? ?? ? ? 故 2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx??? ? ?. 注： 此法的關(guān)鍵在于構(gòu)造積分不等式 2[ ( ) ( )] 0ba tf x g x dx???，展開求關(guān)于 t 的判別式，這就將問題轉(zhuǎn)化成了關(guān)于 t 的二次三項(xiàng)式有無根的問題。 數(shù)學(xué)分析中的 CauchySchwarz 不等式 定理 定理 [2]（積分學(xué)中的柯西 — 施瓦茨不等式） 設(shè) ( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，則 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ??????? ? ?. 證法 1 通過建立輔助函數(shù)來證明 作函數(shù) 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t d t f t d t g t d t??? ? ?????? ? ?，由定積分的性質(zhì)得 8 39。 注： 如果把此不等式中的內(nèi)積用坐標(biāo)表達(dá)出來，就是下述不等式：2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ,n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?… … …它也被稱為 柯西 — 布尼亞可夫斯基不等式。 當(dāng) 0?? 時(shí)，由于 ( ) 0fx? 成立，則 22 , 4 , , 0 ,? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) k??? 時(shí)成立，即 2, , , .? ? ? ? ? ?? 不等式得證。 實(shí)數(shù)域中的 CauchySchwarz 不等式 定理 設(shè) , ( 1, 2 ,iia b R i?? … ， n） ，則 2 2 21 1 1( ) .n n ni i i ii i ia b a b? ? ??? ? ?當(dāng)且僅當(dāng)1212 =nnbbba a a??… 時(shí)，不等式等號(hào)成立 . 證明：通過構(gòu)造關(guān)于 x 的二次函數(shù)來證明 設(shè) 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) +2 ( ) .n n n ni i i i i ii i i if x a x b a x a b x b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 若 21 0,nii a? ??即 12 0na a a? ? ?… = 時(shí)，顯然不等式成立 . 若 21 0nii a? ??時(shí)，則有 2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0nnf x a x b a x b a x b? ? ? ? ? ? ? ?…且 21 0,nii a? ??由于 ( ) 0fx? 成立，所以 2 2 21 1 1[ 2 ( ) ] 4 ( ) ( ) 0 .n n ni i i ii i ia b a b? ? ?? ? ? ?? ? ?且當(dāng)且僅當(dāng)1212 =nnbbba a a??… 時(shí)，不等式等號(hào)成立 . 故 2 2 21 1 1( ) .n n ni i i ii i ia b a b? ? ??? ? ? 3 應(yīng)用 在中學(xué)數(shù)學(xué)和競賽數(shù)學(xué)中常常巧妙地應(yīng)用柯西 — 施瓦茨不等式（即CauchySchwarz 不等式 ）將許多繁瑣復(fù)雜的問題簡單化，比如常常用于求證不等式、最值、解方程組和解三角形的相關(guān)問題，而運(yùn)用柯西施瓦茨不等式的關(guān)鍵在于根據(jù)問題的要求并按照其形式，巧妙地構(gòu)造兩組數(shù)。此外，本文還給出了柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系。本人授權(quán)省級(jí)優(yōu)秀學(xué)士學(xué)位論文評(píng)選機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。分類號(hào) （ 宋體小三加黑） 論文選題類型 U D C 編號(hào) 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） （ 黑體小初） （ 宋體小一加 黑 ） 題 目 （ 宋體小二加 黑） 學(xué) 院 （ 宋體小三加 黑） 專 業(yè) 年 級(jí) 學(xué)生姓名 學(xué) 號(hào) 指導(dǎo)教師 二○ 年 月 （宋體三號(hào)加 黑） 華中師范大學(xué) 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的研究成果。 學(xué)位論文作者簽名： 日期： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保障、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向有關(guān)學(xué)位論文管理部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。 （請(qǐng)?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打“√”） 學(xué)位論文作者簽名： 日期： 年 月 日 導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日 目 錄 內(nèi)容 摘要 ............................................................ 1 關(guān)鍵詞 .............................................................. 1 Abstract..............